Question

В параллелограмме ABCD точка М делит диагональ АС в отношении АМ:МС=2:3, а точка К делит сторону CD в отношении CK:KD=1:2. Найти отношение площади треугольника MCK к площади параллелограмма ABCD.

Answer 1

В параллелограмме ABCD точка М делит диагональ АС в отношении

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим параллелограмм ABCD и нарисуем отрезки, как описано в условии.

Пусть диагональ AC пересекается с прямой DK в точке P.

Так как точка М делит диагональ AC в отношении AM:MC = 2:3, то давайте обозначим AM = 2x, а MC = 3x.

Точно так же, так как точка К делит сторону CD в отношении CK:KD = 1:2, обозначим CK = y и KD = 2y.

Теперь, так как AP и CK - это медианы треугольника ACD, точка M делит их в отношении AM:MP = 2:1 и точка К делит их в отношении CK:KP = 1:1.

Итак, мы можем записать:

AM:MP = 2:1 2x:MP = 2:1 MP = x

Теперь рассмотрим треугольник CMP:

CM:MK = 3:1 3x:MK = 3:1 MK = x

Теперь мы знаем, что MP = MK = x.

Теперь рассмотрим треугольник CKD:

CK:KP = 1:1 y:KP = 1:1 KP = y

Теперь рассмотрим треугольник APK:

AM:MP = 2:1 2x:MP = 2:1 MP = x

Теперь, так как точка M делит диагональ AC в отношении AM:MC = 2:3, точка P делит диагональ AC в отношении AP:PC = 2:1.

Пусть AP = 2m и PC = m.

Теперь рассмотрим треугольник APB:

AM:MP = 2:1 2x:MP = 2:1 MP = x

Теперь, так как точка M делит диагональ AB в отношении AM:MB = 2:1, точка P делит диагональ AB в отношении AP:PB = 2:1.

Пусть AP = 2n и PB = n.

Теперь у нас есть следующие длины сторон:

AK = AP + PK = 2m + y PK = KP = y KB = KP + PB = y + n DC = DK + KC = 2y + 3x

Теперь давайте найдем площадь треугольника MCK. Мы можем сделать это, используя формулу для площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности:

S_MCK = sqrt((s_MCK - AK) * (s_MCK - PK) * (s_MCK - KB))

где s_MCK - полупериметр треугольника MCK, который равен (AK + PK + KB) / 2.

S_MCK = sqrt(((2m + y) + y + (y + n)) * (((2m + y) + y + (y + n)) / 2 - (2m + y)) * (((2m + y) + y + (y + n)) / 2 - y) * (((2m + y) + y + (y + n)) / 2 - (y + n)))

S_MCK = sqrt((4m + 3y + n) * (2m + y - m) * (2m + y - y) * (2m + y - n))

S_MCK = sqrt((4m + 3y + n) * (m) * (y) * (2m + y - n))

Теперь давайте найдем площадь параллелограмма ABCD. Площадь параллелограмма равна произведению длин его диагоналей, деленному на 2:

S_ABCD = (AC * BD) / 2 S_ABCD = (DC * BA) / 2 S_ABCD = ((2y + 3x) * (2m + 2n)) / 2 S_ABCD = (2y + 3x) * (m + n)

Теперь давайте найдем искомое отношение площади треугольника MCK к площади параллелограмма ABCD:

Отношение = S_MCK / S_ABCD

Отношение = sqrt((4m + 3y + n) * (m) * (y) * (2m + y - n)) / ((2y + 3x) * (m + n))

Итак, мы получили выражение для отношения площади треугольника MCK к площади параллелограмма ABCD.