Question

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна площади поверхности шара. Найдите отношение объемов параллепипеда и шара, если ребра параллепипеда, исходящие из одной вершины относятся как 1:2:4

Answer 1

размеры параллелепипеда x;2x;4x

S=2(2x^2+8x^2+4x^2)=28x^2-поверхность параллелепипеда

S(ш)=4piR^2

28x^2=4piR^2

x^2=piR^2/7

x=R√(pi/7)

V(пар)=x*2x*4x=8x^3=8*R^3*(pi/7)^(3/2)

V(ш)=4piR^3/3

V(пар)/V(ш)=(2/3)(pi/7)^(3/2)

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим следующие величины: Пусть стороны прямоугольного параллелепипеда, исходящие из одной вершины, равны a, 2a и 4a. Пусть радиус шара равен r.

Сначала найдем площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда:

Площадь поверхности параллелепипеда (S_параллелепипеда) состоит из 6 граней. Две грани имеют размеры a * 2a, две грани - a * 4a, и две грани - 2a * 4a. Таким образом, площадь поверхности параллелепипеда равна:

S_параллелепипеда = 2 * (a * 2a) + 2 * (a * 4a) + 2 * (2a * 4a) S_параллелепипеда = 4a^2 + 8a^2 + 16a^2 S_параллелепипеда = 28a^2

Теперь найдем площадь поверхности шара:

Площадь поверхности шара (S_шара) вычисляется по формуле: S_шара = 4 * π * r^2

У нас дано, что S_параллелепипеда = S_шара, поэтому:

28a^2 = 4 * π * r^2

Теперь найдем отношение объемов параллелепипеда и шара:

Объем прямоугольного параллелепипеда (V_параллелепипеда) вычисляется по формуле: V_параллелепипеда = a * 2a * 4a = 8a^3

Объем шара (V_шара) вычисляется по формуле: V_шара = (4/3) * π * r^3

Используя равенство площадей, найдем отношение объемов:

V_параллелепипеда / V_шара = (8a^3) / [(4/3) * π * r^3]

Теперь найдем a:

28a^2 = 4 * π * r^2 a^2 = (4 * π * r^2) / 28 a^2 = (π * r^2) / 7 a = sqrt((π * r^2) / 7)

Теперь подставим найденное значение a в отношение объемов:

V_параллелепипеда / V_шара = [8 * (sqrt((π * r^2) / 7))^3] / [(4/3) * π * r^3] V_параллелепипеда / V_шара = [8 * (π * r^2)^(3/2) / 7^(3/2)] / [(4/3) * π * r^3]

Сократим π и упростим:

V_параллелепипеда / V_шара = [8 * r^3 / 7^(3/2)] / [(4/3) * r^3] V_параллелепипеда / V_шара = [2 * 3^(3/2)] / 7^(3/2) V_параллелепипеда / V_шара = (2 * 3) / 7 V_параллелепипеда / V_шара = 6/7

Отношение объемов параллелепипеда и шара равно 6:7.