Question

Основою піраміди є рівнобедрений прямокутний трикутник ,катет якого дорівнює 4 см. Бічні грані піраміди, що містять кати трикутника, перпендикулярні до площини основи, а третя грань утворює з площиною основи кут 45 ° Знайдіть об'єм піраміди.

Answer 1

..................................

Answer 2

Для знаходження об'єму піраміди, ми можемо скористатися формулою:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h,$

де $S_{\text{осн}}$ - площа основи піраміди, а $h$ - висота піраміди.

Для початку знайдемо площу основи піраміди, яка є рівнобедреним прямокутним трикутником. Нехай $a$ - катет трикутника (дорівнює 4 см), $b$ - гіпотенуза, а $S_{\text{тр}}$ - площа трикутника.

Оскільки трикутник є прямокутним, ми можемо знайти гіпотенузу $b$ за допомогою теореми Піфагора:

$b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2,$

$b = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2} \cdot a.$

Тепер знаходимо площу трикутника:

$S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \, \text{см}^2.$

Так як бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, то вони також є рівнобедреними прямокутними трикутниками, і їхні катети також дорівнюють 4 см. Значить, площа кожної з бічних граней дорівнює 8 $\text{см}^2$ (аналогічно площі основи).

Також вам дано, що третя грань утворює з площиною основи кут 45°. Оскільки основа є рівнобедреним прямокутним трикутником, це означає, що кожний з кутів основи піраміди дорівнює $45^\circ$ (45°), тобто піраміда є правильною чотирикутною пірамідою.

Тепер можемо знайти висоту піраміди $h$ за допомогою синуса 45°:

$h = a \times \sin(45^\circ) = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \, \text{см}.$

Знаходимо об'єм піраміди:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h = \frac{1}{3} \times 8 \times 2\sqrt{2} = \frac{16\sqrt{2}}{3} \approx 9.237 \, \text{см}^3.$

Отже, об'єм піраміди дорівнює приблизно 9.237 $\text{см}^3$.