Question

Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение

Answer 1

1. рассмотрим прямоугольный треугольник ABC в которм угол А - прямой, угол В = 30 градусам а угол С = 60.

Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВD. Получим треугольни BCD в котором угол B = углу D = 60 градусов, следовательно DC = BC. Но по построению АС 1/2 ВС, что и требовалось доказать.

2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.

докажем это.

рассмотрим прямоугольный треугольник АВC, у которого катет АС равен половине гипотенузы АС.

Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD. Получит равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу(т.к. против равных строн лежат равные углы), поэтому каждый из них = 60 градусам. Но угол DBC = 2 угла ABC, следовательно угол АВС = 30 градусов,что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства утверждения о катете прямоугольного треугольника, лежащем против угла в 30°, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 90°, угол A равен 30°, а сторона AB - гипотенуза треугольника.

Пусть c - длина катета, лежащего против угла в 30°, а h - длина высоты, опущенной из вершины A на сторону BC.

Используем следующие свойства триугольников:

1. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: tg(30°) = c / h
2. Тангенс угла 30° равен 1 / √3: tg(30°) = 1 / √3

Теперь найдем длину высоты h через стороны треугольника. Рассмотрим треугольник ABH, где угол A равен 30°:

По теореме Пифагора: AB² = AH² + BH²

Так как угол A равен 30°, то по свойствам 30-60-90 треугольника: BH = c / 2 AH = c * √3 / 2

Подставляем значения в уравнение Пифагора: (AB)² = (c * √3 / 2)² + (c / 2)² (AB)² = 3c² / 4 + c² / 4 (AB)² = 4c² / 4 (AB)² = c²

AB = c (так как сторона треугольника не может быть отрицательной длины)

Таким образом, мы показали, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузе.

Теперь сформулируем и докажем обратное утверждение:

Обратное утверждение: В прямоугольном треугольнике, катеты которого имеют равные длины, угол между ними равен 30°.

Доказательство:

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB = AC (катеты имеют равные длины).

Предположим, что угол BAC равен α.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол ABC (прямой угол) равен 90°. Из этого следует, что угол ACB равен (180° - 90° - α) = (90° - α).

Теперь рассмотрим треугольник ABC и применим теорему синусов к нему:

sin(α) / AB = sin(90°) / AC sin(α) = 1 / AC

Также применим теорему синусов к тому же треугольнику для угла (90° - α):

sin(90° - α) / AB = sin(α) / AC sin(90° - α) = sin(α) = 1 / AC

Из полученных уравнений видно, что sin(α) = sin(90° - α), а это возможно только если α = 30°.

Таким образом, мы доказали обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике катеты имеют равные длины, то угол между ними равен 30°.