Question

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а диагональ основания 6 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.(если можно, то с рисунком пожалуйста)

Answer 1

В основании пирамиды квадрат

Пусть сторона квадрата равна а.

Из прямоугольного треугольника АВС:

а=АС·sin45°=6·(√2)/2=3√2 см

Диагональ квадрата точкой О делится пополам.

АО=ОС=3

Значит,

Боковое ребро равно 5

Δ SOC - прямоугольный с катетами 4 и 3 ( египетский треугольник)

Апофема боковой грани  SK=h

SK²=SC²-KC²=5²-(3√2/2)²=25-(9/2)=41/2

h=SK=√(41/2) cм

S(полн.)=S(бок.)+S(осн.)=(1/2)Р(осн.)·h+a²=

=(1/2)·4a·h+a²=2a·h+a²=

=2·(3√2) ·√(41/2) + (3√2)²=(6√41+18) cм²

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разобьем нашу четырехугольную пирамиду на две части: верхнюю пирамидальную часть и нижнюю четырехугольную часть (основание призмы). Затем, мы найдем площадь каждой из этих частей и сложим их, чтобы получить полную площадь поверхности призмы.

Сначала рассмотрим нижнюю часть - основание призмы:

У нас есть диагональ основания и зная, что это четырехугольник, мы можем представить его как ромб. Зная диагональ и высоту ромба, мы можем найти его площадь.

Для этого нам потребуется найти длину стороны ромба. По определению ромба, диагональ разделяет его на два равнобедренных треугольника. Поскольку мы знаем высоту пирамиды (4 см) и одно из равных оснований треугольника (3 см), найдем второе основание:

Высота треугольника разбивает его на два прямоугольных треугольника, а диагональ является гипотенузой одного из таких треугольников:

Высота^2 + (половина основания)^2 = Диагональ^2 4^2 + (x/2)^2 = 6^2 16 + (x/2)^2 = 36 (x/2)^2 = 36 - 16 (x/2)^2 = 20 x/2 = √20 x = √20 * 2 x ≈ 4.47 см

Теперь, когда мы знаем длину стороны ромба (4.47 см), можем найти площадь основания призмы:

Площадь основания = сторона * сторона = 4.47 * 4.47 ≈ 19.98 см²

Теперь рассмотрим верхнюю пирамидальную часть:

Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле: Площадь = (периметр основания) * (полупериметр боковой грани) / 2

Периметр основания ромба равен 4 * сторона = 4 * 4.47 ≈ 17.88 см

Полупериметр боковой грани равен полупериметру основания призмы, так как угол наклона боковой грани к основанию составляет 90°: полупериметр = 17.88 / 2 = 8.94 см

Площадь боковой поверхности = 17.88 * 8.94 / 2 ≈ 79.96 см²

Теперь, чтобы найти полную площадь поверхности призмы, сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь полной поверхности призмы ≈ 19.98 + 79.96 ≈ 99.94 см²

Таким образом, площадь полной поверхности призмы составляет примерно 99.94 квадратных сантиметра.