Question

В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1. Найдите расстояние от точки А1 до прямой СД1

Answer 1

СД1 - это диагональ боковой грани куба.

Расстояние от точки А1 до прямой СД1 равно длине ребра А1Д1, который является перпендикуляром из точки А1 к плоскости грани СДД1.

Ответ: расстояние от точки А1 до прямой СД1 равно 1.

Answer 2

CD₁⊂(CC₁D₁),   От А₁ до (CC₁D₁)  расстояние = А₁D₁

Ответ: 1

Answer 3

Для нахождения расстояния от точки A1 до прямой СД1 в единичном кубе АВСДА1В1С1Д1, мы можем воспользоваться методом векторного анализа.

1. Определение вектора СД1: Для этого найдем координаты векторов CD1 и CS (поскольку СD1 параллельна одной из осей куба, а CS перпендикулярен ей, то CS будет равен (1, 0, 0)).

Вектор CD1 = Д1 - C = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0)

2. Определение вектора A1D1: Вектор A1D1 = D1 - A1 = (1, 1, 0) - (0, 0, 1) = (1, 1, -1)

3. Найдем проекцию вектора A1D1 на вектор СД1: Для этого воспользуемся формулой проекции вектора a на вектор b: proj_b(a) = (a · b) / |b| * (b / |b|).

|CD1| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = √1 = 1

proj_CD1(A1D1) = (A1D1 · CD1) / |CD1| * (CD1 / |CD1|) = ((1, 1, -1) · (0, 1, 0)) / 1 * (0, 1, 0) = (1) * (0, 1, 0) = (0, 1, 0)

4. Найдем вектор ортогональной проекции: Для этого вычтем проекцию из вектора A1D1:

orth_proj = A1D1 - proj_CD1(A1D1) = (1, 1, -1) - (0, 1, 0) = (1, 0, -1)

5. Теперь определим расстояние от точки A1 до прямой СД1: Это расстояние будет равно длине вектора ортогональной проекции.

|orth_proj| = √(1^2 + 0^2 + (-1)^2) = √2

Итак, расстояние от точки A1 до прямой СД1 в единичном кубе равно √2.