Question

Две окружности касаются внутренним образом в точке A. Хорда BC большей окружности касается меньшей окружности в точке K. Докажите, что AB:AC=BK:KC Помогите пожалуйста очень надо поставлю везде высший балл

Answer 1

                                 Решение : //////////////////////

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим следующую схему:

1. Проведем радиусы окружностей, проходящие через точку касания хорды BC с каждой из окружностей. Обозначим эти точки касания как D и E соответственно. Тогда получим, что AB и AC являются касательными к большей окружности, а BK и CK - к меньшей окружности.

2. Так как касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны по длине, то AB = BD и AC = CE.

3. Также заметим, что DK и EK являются радиусами соответствующих окружностей, проходящими через точку K.

4. Обозначим радиусы большей и меньшей окружностей как R и r соответственно.

Теперь докажем, что AB:AC = BK:KC:

AB:AC = BD:CE (из пункта 2) = (R - BK):(R - CK) (так как BD = R - BK и CE = R - CK).

Также, BK:KC = DK:EK (так как BK = DK и CK = EK).

Теперь сравним DK и EK:

DK = R - BK (по определению DK) и EK = R - CK (по определению EK).

Таким образом, DK = EK.

Следовательно, мы получили AB:AC = DK:EK = BK:KC, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что AB:AC = BK:KC, что и требовалось.