Question

Две окружности внутренне касаются друг друга в точке A, AB  диаметр большей окружности. Хорда BM большей окружности касается меньшей окружности в точке C , прямая AC пересекает большую окружность в точке D. Известно, что BC = 4, CM = 2,4 . Найти радиусы окружностей и длину хорды AD.

Answer 1

Пусть АО=ОС=r;
Δ CОВ ~ Δ АМВ по двум углам ( ∠В-общий; ∠АМВ=∠ОСВ).
СО:АМ=СВ:МВ;
r: AM=4:6,4⇒  AM=1,6r

Рассмотрим прямоугольную трапецию МСОА. Проведем высоту СЕ.
(см чертеж 2, отдельный)
Из прямоугольного треугольника ОЕА по теореме Пифагора
ОА²=ОЕ²+ЕА²;
r²=2,4²+0,36r²;
0,64r²=5,76
r²=9
r=3.

АМ=1,6r=1,6·3=4,8

Из прямоугольного треугольника АМС по теореме Пифагора
АС²=АМ²+МС²;
АС²=4,8²+2,4²=(2,4·2)²+2,4²=2,4²·(2²+1)=2,4²·5
АС=2,4√5
Δ AMC ~ Δ CMD
AC : BC=MC : CD;
2,4√5 : 4=4,8 : СD  ⇒  CD=8√5/5=1,6√5

AD=AC+CD=2,4√5+1,6√5=4√5.

По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности малого радиуса из точки В:
произведение секущей ВА на ее внешнюю часть ВК равно квадрату касательной ВС
ВА· (ВА-AK)=BC²;  AK=2r=2·3=6
ВА· (ВА-6)=4²;
ВА²-6ВА-16=0- квадратное уравнение.
D=36+64=100
BA=(6+10)/2=8
BA=2R
2R=8
R=4

О т в е т. R=4; r=3; AD=4√5

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся свойствами окружностей и построим необходимые отрезки.

Построение

1. Обозначим радиус меньшей окружности через r1, а радиус большей окружности через r2. 2. Построим отрезок AC, который является прямой, проходящей через центры окружностей. Поскольку точка A является точкой касания окружностей, отрезок AC будет проходить через точку A. 3. Построим хорду BM, которая касается меньшей окружности в точке C. Поскольку отрезок BM является хордой, проведенной через точку касания, он будет проходить через центр меньшей окружности. 4. Проведем хорду AD, которая пересекает большую окружность в точке D.

Решение

1. Из свойств касательных, мы знаем, что отрезок AC будет перпендикулярен хорде BM в точке касания C. Таким образом, треугольник ABC будет прямоугольным. 2. Поскольку AB является диаметром большей окружности, то AC будет являться его радиусом. Значит, AC = r2. 3. Также, по свойствам прямоугольного треугольника ABC, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка BC:

BC^2 = AB^2 - AC^2 BC^2 = (2 * r2)^2 - (r2)^2 BC^2 = 4 * r2^2 - r2^2 BC^2 = 3 * r2^2

Известно, что BC = 4, поэтому 3 * r2^2 = 4^2 = 16. Отсюда, r2^2 = 16 / 3, и решая это уравнение, получим r2 = √(16 / 3) = 4 / √3.

4. Поскольку хорда BM является касательной к меньшей окружности в точке C, она будет перпендикулярна радиусу меньшей окружности, проведенному через точку касания C. Таким образом, треугольник BMC также будет прямоугольным. 5. Используем теорему Пифагора для нахождения длины отрезка CM:

CM^2 = BM^2 - BC^2 (2.4)^2 = BM^2 - 4^2 5.76 = BM^2 - 16 BM^2 = 5.76 + 16 BM^2 = 21.76 BM = √21.76

6. Теперь, мы можем найти радиус меньшей окружности, используя следующее соотношение:

BM = r1 + r2 √21.76 = r1 + 4 / √3 r1 = √21.76 - 4 / √3

7. Наконец, чтобы найти длину хорды AD, мы можем использовать свойство касательных, которое гласит, что хорда, пересекающая радиус, делит его на две равные части. Таким образом, отрезок AD будет равен двум радиусам меньшей окружности:

AD = 2 * r1

Таким образом, радиусы окружностей равны r1 = √21.76 - 4 / √3 и r2 = 4 / √3, а длина хорды AD равна AD = 2 * (√21.76 - 4 / √3).