Question

В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 , CC1. Чему равны углы треугольника A1B1C1, если ∠A=110∘, ∠B=40∘, ∠C=30∘?

Answer 1

Ответ: ∠А1=40°;  ∠В1=60°; ∠С1=80°

Объяснение:   Треугольник АВС - тупоугольный, поэтому высоты из острых углов В и С пройдут перпендикулярно продолжениям сторон СА и ВА вне его плоскости.и пересекутся в некоторой точке К.

    Прямоугольные треугольники АВВ1 и АСС1 - подобны по острому углу при А ( эти углы равны как вертикальные) Эти же острые углы при А смежные углу ВАС и равны 180°-110°=70° каждый.

В ∆ АВВ1 и ∆ АСС1 ∠ АВВ1 и ∠АСС1 равны 90°-70°=20°

В ∆ ВКА1 ∠ВКА1=90°-(40°+20°)=30°.

В ∆ СКА1 ∠СКА1=90°-(30*=20°)=40°

Последовательно найдем части  углов ∆ А1В1С1 и углы А1, С1, В1.

   а) Гипотенуза прямоугольных ∆ ВКС1 и ∆ СКА1 - общая => вокруг них можно описать  окружность с диаметром ВК.

Вписанный ∠ВС1А1=∠ВКА1=30° ( опираются на одну дугу ВА1)

Вписанный ∠КА1С1=КВС1=20° ( опираются на одну дугу КС1)

  б) Гипотенуза КС - общая для прямоугольных треугольников КСА1 и КСВ1.  Вокруг них опишем окружность с диаметром КС.

Вписанный ∠КА1В1=КСВ1=20° ( опираюстя на одну дугу КВ1)=>

В треугольнике А1В1С1 ∠А1=угол В1А1К+КА1С1=40°

Вписанный ∠СВ1А1=СКА1=40° (опираются на дугу СА1)

    с) Гипотенуза ВС прямоугольных треугольников ВВ1С и ВС1С общая. Опишем вокруг низ окружность с диаметром ВС.

Вписанный ∠ВС1А1 =углу ВКА1=30°=>

В треугольнике А1В1С1 ∠С1=В1С1В+ВС1А1=30°+30°=60°

Из суммы углов треугольника ∠С1=180°-∠А1-∠В1=180°-40°-60°=80°

=========

Есть более короткий способ решения по теореме: В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному. Величина искомых углов получится той же, что в данном решении.

Answer 2

Чтобы найти углы треугольника $A1B1C1$, мы можем использовать следующие факты:

1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке (назовем её $O$). Это означает, что треугольник $A1B1C1$ - ортопедический.

2. В ортопедическом треугольнике, углы при основании (в данном случае, углы $A1$ и $B1$) суть дополнительные к углам исходного треугольника.

3. Углы при вершине ортопедического треугольника (в данном случае, угол $C1$) равны дополнительным к дополнительным углам исходного треугольника.

Исходя из этих фактов, мы можем рассчитать углы треугольника $A1B1C1$:

1. $\angle A1 = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$
2. $\angle B1 = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 110^\circ = -20^\circ$ (отрицательный угол не имеет физического смысла в этом контексте).
3. $\angle C1 = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Таким образом, углы треугольника $A1B1C1$ равны $50^\circ$, $0^\circ$ (или просто $0$) и $60^\circ$.