Question

В правильний трикутник (рівносторонній) вписано і описано коло. Знайдіть радіуси, якщо сторона трикутника дорівнює 5 см. Даю 15 балов

Answer 1

1) радиус вписанной окружности равен (5*√3)/6 см

2) радиус описанной окружности равен (5*√3)/3 см

Answer 2

Для вирішення цього завдання, давайте позначимо наше рівностороннє трикутник як ABC, де A, B і C - вершини трикутника, а О - центр вписаного і описаного кола. Оскільки трикутник ABC є рівностороннім, всі його сторони рівні.

Також знаємо, що радіус вписаного кола (r) є відстанню від центру вписаного кола (О) до будь-якої сторони трикутника, і радіус описаного кола (R) є відстанню від центру описаного кола до будь-якої вершини трикутника.

Оскільки трикутник ABC є рівностороннім, то можемо знайти його висоту (h) за допомогою трикутника 30-60-90. Висота (h) розбиває рівносторонній трикутник на два 30-60-90 трикутники.

У трикутнику 30-60-90 сторона навпроти 60-градусного кута (AB) - половина гіпотенузи, а сторона навпроти 30-градусного кута - половина гіпотенузи, поділена на √3.

Таким чином, висота трикутника ABC (h) дорівнює (AB / 2) * √3.

Знаючи сторону трикутника (AB = 5 см), можемо обчислити висоту (h):

h = (5 / 2) * √3 ≈ 2.89 см.

Тепер, коли ми знаємо висоту трикутника, можемо знайти радіус вписаного кола (r). Радіус вписаного кола (r) може бути знайдений за допомогою наступної формули:

r = (площа трикутника) / (півпериметр трикутника).

Площа рівностороннього трикутника дорівнює (сторона^2 * √3) / 4, а півпериметр дорівнює (3 * сторона) / 2.

Таким чином,

r = ((5^2 * √3) / 4) / ((3 * 5) / 2) ≈ (25 * √3) / 6 ≈ 7.21 см.

Отже, радіус вписаного кола (r) дорівнює приблизно 7.21 см.

Тепер давайте знайдемо радіус описаного кола (R). У рівносторонньому трикутнику описане коло має своїм радіусом довжину сторони трикутника.

Таким чином, радіус описаного кола (R) дорівнює 5 см.

Отже, радіус вписаного кола (r) становить приблизно 7.21 см, а радіус описаного кола (R) - 5 см.