Question

Докажите, что угол между высотой и бессектрисой, проведенными из одной вершины треугольника, равен полуразности двух других его углов. Очень нужно, прошу вас​

Answer 1

  Пусть в треугольнике АВС  отрезок ВК - биссектриса. ВН - высота.

Примем ∠В=2а. Тогда  ∠АВК=∠СВК=а.

  Примем искомый угол  ∠КВН= х. Треугольник КВН - прямоугольный. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90° ⇒

 Из суммы углов  треугольника в  ∆ АВК ∠ВКА=180°-(90°-х)=90°+х.

 В ∆ НВК ∠ВКН=90°-х, а из ∆ СВК  ∠С=180°-{90°-х)-а=90+х-а (1).  

∠А=180°-(90°+х)-а. ∠А=90°-х-а (2)    Вычтя  из уравнения 1 уравнение 2, получим ∠С-∠А=2х, откуда х=(∠С-∠А):2, что и требовалось доказать.

Answer 2

Докажем данное утверждение:

Пусть у нас есть треугольник ABC, в котором проведены высота CD и биссектриса CE из вершины C.

Мы хотим доказать, что угол между высотой и биссектрисой (угол DCE) равен полуразности двух других углов треугольника (углов ACB и ABC).

Для начала вспомним два свойства треугольника:

1. Сумма углов в треугольнике равна 180°: ∠ACB + ∠ABC + ∠BCA = 180°

2. В треугольнике угол, лежащий напротив большей стороны, больше угла, лежащего напротив меньшей стороны: AB > BC => ∠ACB > ∠ABC

Теперь рассмотрим треугольник CDE, где D — точка пересечения высоты и биссектрисы, а E — точка пересечения биссектрисы и стороны AB.

По свойству биссектрисы, угол DCE равен половине угла ACB (1), и по свойству высоты, угол DCE равен углу BCD (2).

(1) ∠DCE = 0.5 * ∠ACB (2) ∠DCE = ∠BCD

Теперь сравним два полученных выражения для ∠DCE:

0.5 * ∠ACB = ∠BCD

Теперь воспользуемся свойством (2) изначального треугольника ABC: ∠ACB + ∠ABC + ∠BCA = 180°

Подставим ∠ACB = 2 * ∠DCE (из уравнения 0.5 * ∠ACB = ∠BCD):

2 * ∠DCE + ∠ABC + ∠BCA = 180°

Теперь перенесем 2 * ∠DCE на другую сторону уравнения:

∠ABC + ∠BCA = 180° - 2 * ∠DCE

Или можно записать:

∠ABC = 180° - 2 * ∠DCE - ∠BCA

Теперь обратим внимание на правую часть уравнения:

180° - 2 * ∠DCE - ∠BCA это разность 180° и (2 * ∠DCE + ∠BCA)

Согласно свойству суммы углов в треугольнике, (2 * ∠DCE + ∠BCA) равно углу BCD в треугольнике CDE:

180° - ∠ABC это угол BCD

Теперь обратим внимание на левую часть уравнения:

∠ABC это угол ACB в исходном треугольнике ABC.

Таким образом, мы доказали, что угол между высотой и биссектрисой, проведенными из одной вершины треугольника, равен полуразности двух других его углов:

∠DCE = 0.5 * ∠ACB = 0.5 * (∠ABC + ∠BCA)