Question

В треугольнике АВС провели биссиктриссу ВЕ. Оказалось, что ВС + СЕ=АВ. Докажите, что один из углов этого треугольника в два раза больше другого. ​

Answer 1

                         Решение : ////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольник АВС и его биссектрису ВЕ, где ВЕ делит угол В на два равных угла: ∠ВЕС = ∠ВЕА = x (где x - мера каждого из равных углов).

Теперь обратим внимание на условие задачи, которое гласит, что ВС + СЕ = АВ. Поскольку СЕ является частью биссектрисы ВЕ, то можно записать:

СЕ = ВЕ * sin(x) (1)

где ВЕ - длина биссектрисы ВЕ, а x - мера угла ВЕС (или угла ВЕА).

Также, по теореме синусов для треугольника АВС:

ВС = АВ * sin(∠В) (2)

где ∠В - мера угла В треугольнике АВС.

Из условия задачи известно, что ВС + СЕ = АВ, поэтому можем объединить уравнения (1) и (2):

АВ * sin(∠В) + ВЕ * sin(x) = АВ

Теперь выразим ВЕ через АВ и углы:

ВЕ = АВ * (1 - sin(∠В)) / sin(x) (3)

Теперь рассмотрим теорему синусов для треугольника ВЕС:

ВС = ВЕ * sin(∠ВЕС) (4)

Подставим значение ВЕ из уравнения (3) в уравнение (4):

ВС = (АВ * (1 - sin(∠В)) / sin(x)) * sin(x)

Сократим sin(x) и получим:

ВС = АВ * (1 - sin(∠В))

Теперь выразим ∠В через ВС:

sin(∠В) = 1 - ВС / АВ

Так как sin(∠В) = sin(180° - ∠В), то можно записать:

1 - ВС / АВ = ВС / АВ

Разрешим уравнение относительно ВС:

1 = 2 * ВС / АВ

ВС = АВ / 2

Теперь, зная, что ВС = АВ / 2, подставим это значение в уравнение (4) для ВС:

ВС = (АВ * (1 - sin(∠В)) / sin(x)) * sin(x)

АВ / 2 = (АВ * (1 - sin(∠В)) / sin(x)) * sin(x)

Сократим sin(x) и АВ:

1 / 2 = 1 - sin(∠В)

sin(∠В) = 1 - 1 / 2

sin(∠В) = 1 / 2

Таким образом, sin(∠В) = 1/2, что соответствует углу 30° или π/6 радиан. Так как мы знаем, что один из углов ВЕС или ВЕА равен x, то x = 30° или x = π/6 радиан.

Теперь мы можем заключить, что один из углов треугольника АВС (угол В) в два раза больше другого угла ВЕС или ВЕА (угол x). Таким образом, утверждение доказано.