Question

средняя линия трапеции делится диагоналями на три части, причём крайняя часть в 3 раза больше средней. Найдите отношение оснований трапеции ​

Answer 1

Рассмотрим ∆ ABC и АСД. В них:

PM и MQ средняя линия соответственно.

Средняя линия в треугольнике равна половине стороны, против которой лежит, следовательно:

PM = 1/2 BC -> 2PM = BC

MQ = 1/2 AD -> 2MQ = AD

По условию крайние отрезки средней линии относятся со средней частью как 3:1, поэтому мы можем взять отрезки за х:

MN - x, PM = NQ = 3x.

MQ = MN + NQ = 3x + x = 4x

Из этого исходит, что:

2PM = BC => 3x = BC

2MQ = AD => 4x = AD

У нас известны соотношения сторон, поэтому:

BC:AD = 3x : 4x

BC:AD = 3:4

Ответ: 3:4

Я сама искала ответ на эту задачу в интернете, но так и не нашла. Надеюсь, что помогла. Желаю удачи в сдаче ВПР. vendermask.

Answer 2

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, где $a > b$. Пусть также средняя линия делит диагональ $AC$ на две части, обозначим их длины $x$ и $y$, где $x > y$.

Так как средняя линия делит диагонали на три части, причем крайняя часть в 3 раза больше средней, то мы можем записать соотношения:

$\frac{x}{y} = 3 \quad (1)$ $\frac{AC}{y} = \frac{x+y}{x} \quad (2)$

Из уравнения (1) можно выразить $x$ через $y$:

$x = 3y$

Подставим это значение в уравнение (2):

$\frac{AC}{y} = \frac{3y+y}{3y} = \frac{4y}{3y} = \frac{4}{3}$

Теперь мы знаем, что $\frac{AC}{y} = \frac{4}{3}$. Но также мы можем выразить длину диагонали $AC$ через основания $a$ и $b$ с помощью теоремы Пифагора:

$AC^2 = a^2 + b^2$

Так как средняя линия делит диагональ $AC$ на две части, то ее длина $AC$ в два раза больше длины $y$:

$AC = 2y$

Теперь можем записать уравнение:

$(2y)^2 = a^2 + b^2$ $4y^2 = a^2 + b^2$

Теперь подставим это уравнение в уравнение для отношения оснований:

$\frac{4y^2}{y} = \frac{4y^2}{y^2} = 4$

Таким образом, отношение оснований трапеции равно $4:1$, то есть $a:b = 4:1$.