Question

В равнобедренной трапеции ABCD длины оснований AD и BC относятся как 5:3. Из середины М стороны AB опущен перпендикуляр MN на сторону CD, причем известно, что MN =√ 15, CN : ND = 1 : 3. Найти площадь трапеции ABCD

Answer 1

Ответ:

4√15

Объяснение:

Answer 2

Давайте обозначим длину основания AD как 5x (так как отношение длин оснований AD и BC равно 5:3, и мы выбрали коэффициент 5) и длину основания BC как 3x.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, это означает, что её боковые стороны AB и CD равны. Обозначим длину стороны AB (или CD) как y.

Теперь у нас есть два подобных треугольника AMN и CND. Мы можем использовать их сходство для решения задачи.

Отношение длин сторон подобных треугольников равно отношению длин их сторон:

AMN и CND: AM : CN = MN : ND

AM = y/2 (половина стороны AB)

CN : ND = 1 : 3

MN = √15

Подставляем значения:

y/2 : CN = √15 : 3

Теперь найдем значение y/2:

y/2 = (√15 * CN) / 3

Теперь найдем значение y:

y = (2 * √15 * CN) / 3

Теперь, зная длины сторон трапеции, мы можем вычислить её площадь.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

Площадь = (сумма длин оснований) * (высота) / 2

Подставляем значения:

Площадь = (5x + 3x) * (√15) / 2

Площадь = 8x * (√15) / 2

Площадь = 4x * (√15)

Теперь осталось найти значение x.

Мы знаем, что MN : ND = √15 : 3, а также MN = √15.

Таким образом, MN = (√15 * ND) / 3

√15 = (√15 * ND) / 3

Теперь избавимся от корня:

√15 * 3 = √15 * ND

3 = ND

Теперь мы знаем, что ND = 3.

Также, известно, что CN : ND = 1 : 3

CN = 1 * ND = 1 * 3 = 3

Теперь у нас есть значения CN и ND, и мы можем найти значение x:

5x = AD = 5 * 3 = 15

x = 15 / 5 = 3

Теперь мы нашли значение x, и можем найти площадь трапеции:

Площадь = 4x * (√15) = 4 * 3 * (√15) = 12 * (√15)

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 12 * (√15) квадратных единиц.