Question

В треугольнике одна сторона на 2 см короче второй и на 4 см короче третьей. Косинус среднего по величине угла равен 0.75. Найдите периметр треугольника.

Answer 1

Пусть х (см) - меньшая сторона, тогда:

х+2 (см) - средняя сторона

х+4 (см) - большая сторона

Средний по величине угол лежит против средней стороны. По теореме косинусов:

$\tt (x+2)^2=x^2+(x+4)^2-2\cdot x\cdot(x+4)\cdot0.75\\ x^2+4x+4=x^2+x^2+8x+16-1.5x^2-6x\\0.5x^2+2x-12=0 \ \ |\cdot2\\x^2+4x-24=0\\D=16+96=112=(4\sqrt{7})^2\\x_1=\cfrac{-4-4\sqrt{7} }{2}=-2-2\sqrt{7} \ \ \ \ \ \O\\ x_2=\cfrac{-4+4\sqrt{7} }{2}=2\sqrt{7}-2$

$\tt P=x+x+2+x+4=2\sqrt{7}-2+2\sqrt{7}-2+2+2\sqrt{7}-2+4=6\sqrt{7}$

Ответ: 6√7 см.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой косинуса среднего угла в треугольнике:

cos((A + B) / 2) = (2 * cos(A) * cos(B)) / (cos(A) + cos(B))

где A и B - углы треугольника.

Пусть x - длина наименьшей стороны треугольника, тогда:

• вторая сторона равна (x + 2) см,
• третья сторона равна (x + 4) см.

Теперь нам нужно найти косинусы углов треугольника.

Известно, что косинус среднего угла равен 0.75, поэтому:

cos((A + B) / 2) = 0.75

Теперь можем записать косинусы углов треугольника:

cos(A) = 0.75 * cos(B)

Используем теорему косинусов для нахождения стороны x:

x^2 = (x + 2)^2 + (x + 4)^2 - 2 * (x + 2) * (x + 4) * 0.75

Теперь решим уравнение и найдем значение x:

x^2 = (x + 2)^2 + (x + 4)^2 - 1.5 * (x + 2) * (x + 4)

x^2 = x^2 + 4x + 4 + x^2 + 8x + 16 - 1.5x^2 - 9x - 12

0 = 0.5x^2 + x + 8

0.5x^2 + x + 8 = 0

x^2 + 2x + 16 = 0

Дискриминант D = 2^2 - 4 * 1 * 16 = 4 - 64 = -60

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что такой треугольник не может существовать.

Проверим:

• Если наименьшая сторона равна x, то вторая сторона равна (x + 2), а третья сторона равна (x + 4).
• Так как треугольник существует, выполняется неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Однако, в данном случае наименьшая сторона x должна быть больше нуля. В уравнении x^2 + 2x + 16 = 0 нет положительных действительных корней, следовательно, треугольник с заданными условиями не существует.