Question

Из центра окружности О к хорде MN, равной 16 см, проведен перпендикуляр OF. Найдите длину перпендикуляра, если < OMN = 45°​

Answer 1

OF - высота и медиана в равнобедренном △MON (OM=ON, радиусы)

MF=MN/2=16/2=8

△MFO с углами 45, 90 - равнобедренный

OF=MF=8

Answer 2

Чтобы найти длину перпендикуляра OF, проведенного из центра окружности О к хорде MN, нужно использовать свойство перпендикуляра к хорде. В данном случае, треугольник ONF образует прямоугольный треугольник, где ON - радиус окружности, NF - половина хорды MN (так как OF является высотой, то F делит хорду на две равные части).

Для решения задачи вам понадобится знание о том, что в прямоугольном треугольнике отношение длины гипотенузы к длине катета равно $\sin(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между гипотенузой и катетом.

Мы знаем, что длина хорды MN равна 16 см, а угол $OMN = 45°$. Также, половина хорды NF равна $\frac{16}{2} = 8$ см (так как F делит хорду на две равные части).

Теперь найдем длину перпендикуляра OF. Обозначим её как $x$.

Применим функцию синуса к углу $OMN = 45°$: $\sin(45°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{8}$

Теперь найдем значение синуса 45°: $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь решим уравнение относительно $x$: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{x}{8}$

Чтобы избавиться от деления на $\frac{1}{8}$, умножим обе стороны уравнения на 8: $8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = x$

Упростим: $x = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \text{ см}$

Таким образом, длина перпендикуляра OF составляет приблизительно 5.66 см.