Question

Надо найти уравнение плоскости который проходит точками М (1;2;3),М (-1;2;1) и М (3;-1;1)

Answer 1

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти точки определяется из выражения:              

(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек в это выражение, получаем уравнение плоскости через точки М₁М₂М₃: 3x +4y - 3z - 2 = 0.

Это же уравнение можно получить через определитель:

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA      = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 1          y - 2           z - 3

(-1) - 1 2 - 2 1 - 3

3 - 1          (-1) - 2 1 - 3        = 0

x - 1    y - 2        z - 3

-2           0         -2

2         -3          -2        = 0

(x - 1)  0·(-2)-(-2)·(-3)  -  (y - 2)  (-2)·(-2)-(-2)·2  +  (z - 3)  (-2)·(-3)-0·2  = 0

(-6) x - 1  + (-8) y - 2  + 6 z - 3  = 0

 - 6x - 8y + 6z + 4 = 0

3x + 4y - 3z - 2 = 0.

             

Answer 2

Ответ: 3x + 4y - 3z - 2 = 0.

Объяснение:

Answer 3

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, воспользуемся следующим методом:

Уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - неизвестные коэффициенты, а (x, y, z) - координаты произвольной точки на плоскости.

Шаги решения:

1. Найдем векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$, лежащие в плоскости и образованные между точками: $\vec{u} = \vec{MM_1} = (1 - (-1), 2 - 2, 3 - 1) = (2, 0, 2)$ $\vec{v} = \vec{MM_2} = (3 - (-1), -1 - 2, 1 - 1) = (4, -3, 0)$

2. Найдем векторное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$, чтобы найти вектор, перпендикулярный плоскости: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & -3 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 - (-6)) - \vec{j}(4 - 0) + \vec{k}(2 - 0) = -6\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k} = (-6, -4, 2)$

3. Теперь нам нужно найти коэффициенты A, B, C и D. Мы знаем, что вектор $\vec{n}$ перпендикулярен плоскости, поэтому его координаты будут соответствовать коэффициентам A, B и C. Выберем любую точку на плоскости, например, точку М(1, 2, 3), чтобы найти значение D. Подставим координаты $\vec{n}$ и точки М в уравнение плоскости: $(-6) \cdot 1 + (-4) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + D = 0$ $-6 - 8 + 6 + D = 0$ $-8 + D = 0$ $D = 8$

4. Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки М(1, 2, 3), М(-1, 2, 1) и М(3, -1, 1), будет иметь вид: $-6x - 4y + 2z + 8 = 0$

И это будет искомое уравнение плоскости.