Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD AB=7; AS=14. На сторонах CD и SC взяты точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=2:5. Плоскость α α содержит прямую NK и параллельна ребру AS. а) Докажите, что плоскость α α параллельна ВС б) Найдите расстояние от точки B до плоскости α

Answer 1

Пусть A - Начало координат

Ось X - AB

Ось Y  - AD

Ось Z - перпендикулярно плоскости ABC в сторону S

Пусть O - центр квадрата ABCD

Найдем высоту пирамиды SABCD  - SO

Из прямоугольного треугольника ABC

AC = 7√2

AO= 7√2 / 2

Из прямоугольного треугольника SOA

SA = 14

AO= 7√2 / 2

SO = √ ( SA^2-AO^2)= 7√14/2

Координаты точек

N ( 2;7;0)

K ( 3.5+ 2/7 * 3.5 ; 3.5+ 2/7 * 3.5 ; 5/7 * 7√14/2)   K(4.5;4.5;2.5*√14)

Вектор

AS ( 3.5;3.5; 3.5*√14)

Мы знаем что плоскость a параллельна AS - Значит ей принадлежит точка L отложенная от K на вектор минус AS ( минус для удобства )

L(4.5- 3.5 ; 4.5 -3.5 ; 2.5*√14 - 3.5*√14)  L( 1; 1; -√14)

N K L - определяют нашу плоскость.

Уравнение плоскости

ax+by+cz+d=0

Подставляем координаты точек N K L

2a+7b+d=0

4.5 a + 4.5 b + 2.5*√14 c + d=0

a + b - √14 c +d =0

Пусть d= -2  , Тогда b=0 a =1 c = -1/√14

Искомое уравнение

x - z/√14 -2 =0

a)  Так как коэффициент при y =0 , а прямая BC параллельна оси Y , наша плоскость параллельна BC . Доказано

б )

Нормализованное уравнение плоскости

k= √(1+1/14) = √(15/14)

x/k - z/k/√14 -2/k =0

Подставляем координаты точки B ( 7;0;0) в нормализованное уравнение для определения искомого расстояния

7/√(15/14)  - 2 / √(15/14) = 5 / √(15/14) = √210 / 3

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте приступим к анализу:

a) Доказательство того, что плоскость α параллельна ВС:

Поскольку прямая NK параллельна плоскости α и ребру AS, то угол между прямой NK и ребром AS будет также углом между плоскостью α и ребром AS. Обозначим этот угол как α.

Теперь рассмотрим треугольники DNC и SKC. По условию, DN:NC = 2:5 и SK:KC = 2:5. Так как отношения сторон равны, треугольники DNC и SKC подобны. Пусть угол между DN и NC равен β. Тогда угол между SK и KC также равен β.

Теперь рассмотрим треугольники SAB и SCD. Они также подобны, так как угол α между NK и AS равен углу между плоскостью α и ребром AS, и угол β между CD и SC равен углу между плоскостью α и ребром AS.

Теперь обратим внимание на треугольники SAB и SBC. Угол между SA и SB равен α, так как прямая NK параллельна плоскости α. Угол между SB и SC равен β, так как плоскость α параллельна SC.

Таким образом, по двум углам треугольников SAB и SBC можно сделать вывод, что прямая BC параллельна прямой SA, а это означает, что плоскость α параллельна ВС.

б) Найдем расстояние от точки В до плоскости α:

Рассмотрим треугольник SAB. Пусть H - это точка пересечения высоты из вершины B с плоскостью α. Обозначим высоту треугольника SAB из вершины B как BH.

Так как треугольники SAB и SBC подобны, отношение высот треугольников равно отношению соответствующих сторон: BH/AS = BC/AB.

Известно, что AB = 7 и AS = 14, поэтому можно выразить BC через BH: BC = (AB * BH) / AS.

Теперь рассмотрим треугольники DNC и BNC. Так как DN:NC = 2:5, то можно записать: BH/NC = 2/5.

Отсюда можно выразить BH через NC: BH = (2/5) * NC.

Подставим это значение обратно в формулу для BC: BC = (AB * BH) / AS = (7 * (2/5) * NC) / 14 = (2/5) * NC.

Теперь мы знаем, что расстояние от точки B до плоскости α (или от точки B до точки H) равно (2/5) от расстояния от точки B до точки C, то есть: BH = (2/5) * BC.

Таким образом, расстояние от точки B до плоскости α равно двум пятим от расстояния от точки B до точки C.