Question

В равнобедренном треугольнике радиусы описанной и вписанной окружности соответственно равны 24 и 50см. Вычислите периметр треугольника

Answer 1

Ответ: два решения (одно для остроугольного треугольника, другое для тупоугольного...)

1) Р = 256 (см)

2) Р = 56V21 (см)

Объяснение: треугольник АВС, основание ВС=2а (чтобы не возиться с дробями); АВ=АС=b

P = 2a+2b = 2(a+b)

а=b*cos(B); по т.синусов: b=2R*sin(B)

S = 2a*h/2 = ah; h = b*sin(B)

S = P*r/2 = (a+b)*r

(a+b)*r = ab*sin(B)

b(1+cos(B))*r = b*b*sin(B)*cos(B)

(1+cos(B))*r = 2R*sin^2(B)*cos(B)

r/(2R) = (1-cos(B))*cos(B)

обозначим х=cos(B)

x^2 - x + (6/25) = 0

(5x)^2 - 5*(5x) + 6 = 0

по т.Виета корни (3) и (2)

5х=3 ---> х = 0.6

---> sin(B) = V(1-0.36) = 0.8 или

5х=2 ---> х = 0.4

---> sin(B) = V(1-0.16) = 0.2V21

b = 2*50*0.8 = 80 или

b = 2*50*0.2V21 = 20V21

a = 80*0.6 = 48 или

а = 20V21*0.4 = 8V21

P = 2*(80+48) = 128*2 = 256 или

Р = 2*(20+8)*V21 = 56V21

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся следующими свойствами равнобедренного треугольника:

1. Радиус описанной окружности равен половине длины основания треугольника (отрезка, на котором лежат основания равнобедренного треугольника).

2. Радиус вписанной окружности равен половине высоты треугольника, опущенной из вершины на основание.

Пусть основание треугольника равно a, а высота треугольника равна h. Тогда:

1. Из первого свойства равнобедренного треугольника следует, что радиус описанной окружности равен половине основания:

r_описанной_окружности = a/2 = 24 см

2. Из второго свойства равнобедренного треугольника следует, что радиус вписанной окружности равен половине высоты:

r_вписанной_окружности = h/2 = 50 см

Мы знаем, что радиус вписанной окружности связан с радиусом описанной окружности и сторонами треугольника следующим образом:

r_вписанной_окружности = (a/2) * (b + c - a) / (b + c),

где b и c - стороны треугольника.

Зная значения радиусов, можем записать уравнение:

50 = (a/2) * (2a - a) / (2a),

50 = a / (2a),

100a = 2a^2,

2a^2 - 100a = 0,

2a(a - 50) = 0.

Отсюда получаем два возможных значения a: a = 0 (не подходит) или a = 50.

Таким образом, основание треугольника равно 50 см.

Используя свойства равнобедренного треугольника, мы можем выразить высоту треугольника через его основание:

h = sqrt(50^2 - (50/2)^2) = sqrt(2500 - 625) = sqrt(1875) ≈ 43.30 см.

Теперь, чтобы вычислить периметр треугольника, нужно сложить длины всех трех сторон:

Периметр = a + a + h = 50 + 50 + 43.30 ≈ 143.30 см.

Таким образом, периметр равнобедренного треугольника составляет около 143.30 см.