Question

Вершини трикутника сполучено із центром вписаного в нього кола. Проведені відрізки розбивають даний трикутник на трикутники, площі яких дорівнюють 26 см2, 28 см2 і 30 см2. Знайдіть сторони даного трикутника. ​

Answer 1

Ответ: стороны треугольника 13; 14; 15

Объяснение: проведенные отрезки - это биссектрисы данного треугольника (центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис треугольника);

получившиеся треугольники имеют равные высоты - это радиус вписанной окружности (любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла; радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной)

площади треугольников, имеющих равные высоты относятся как основания; получим отношения сторон треугольника (для определенности обозначим сторону (а) у треугольника с площадью 30; сторона (b) у треугольника площадью 28; (с) для площади 26):

а/b = 30/28 = 15/14

a/c = 30/26 = 15/13

b/c = 28/26 = 14/13

можно записать три стороны:

a = 15c/13; b = 14c/13 и с.

площадь всего треугольника = 30+28+26 = 84 и она связана со сторонами по формуле Герона)

полупериметр = ((15/13)+(14/13)+1)*(c/2) = 21c/13

84 = корень из((21с/13)*(6c/13)*(7c/13)*(8c/13))

84 = 7*3*4*c^2/169

c^2 = 169

c = 13

b = 14

a = 15

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, спочатку використаємо властивість, що радіус кола, вписаного в трикутник, є перпендикулярний до сторін трикутника та ділить їх на пропорційні частини, пропорційні до довжин сторін трикутника.

Позначимо сторони трикутника через a, b та c, а площі отриманих підтрикутників через S₁, S₂ та S₃. Радіус вписаного кола позначимо через r.

Тоді, маємо наступні співвідношення для площ трикутників:

S₁ = r * (a/2), S₂ = r * (b/2), S₃ = r * (c/2).

Знаючи площі S₁, S₂ та S₃, можемо записати такі рівняння:

26 = r * (a/2), 28 = r * (b/2), 30 = r * (c/2).

Далі, можемо спростити ці рівняння:

a = 52/r, b = 56/r, c = 60/r.

Тепер, щоб знайти значення r, можемо відновити оригінальний трикутник з площами S₁, S₂ та S₃:

S = S₁ + S₂ + S₃ = 26 + 28 + 30 = 84.

Також, маємо інший вираз для площі трикутника через його сторони, використовуючи формулу Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

де p - півпериметр трикутника, p = (a+b+c)/2.

Тоді, маємо:

84 = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).

Знаючи, що a = 52/r, b = 56/r і c = 60/r, можемо підставити ці значення і розв'язати рівняння для p.

84 = √(p(p-52/r)(p-56/r)(p-60/r)).

Коли знайдемо значення p, зможемо обчислити a, b та c за допомогою вже відомих виразів a = 52/r, b = 56/r і c = 60/r.

Зважаючи на складність розв'язання цього рівняння вручну, найкращим способом розв'язання цієї задачі є використання математичного програму для чисельних обчислень, такого як Python з бібліотеками SciPy або NumPy. Таким чином, ми можемо чисельно знайти значення сторін трикутника a, b та c.