Question

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым C углом . Пусть BK — биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника AKB , пересекает вторично сторону BC в точке L . Найдите CB+CL , еcли AC=4 AB=5 .

Answer 1

BK - биссектриса угла ABC, следовательно, ∠ABK = ∠KBC. Из точки K проведем перпендикуляр KD к стороне AB. ΔKDB = ΔCKB по гипотенузе и острому углу ⇒ BD = BC и KD = KC.

∠ABK опирается на дугу AK и ∠LBK опирается на дугу KL, то есть, хорды AK и KL опираются равные углы, поэтому AK = KL отсюда следует, что ΔKAD = ΔLCK по гипотенузе и катету ⇒ AD = CL, таким образом CB + CL = BD + AD = AB = 5

Answer 2

На продолжении BC отложим отрезок CD, равный СL.

В треугольнике DAL отрезок AC является высотой и медианой, следовательно и биссектрисой, треугольник равнобедренный.

DAL =2KAL =2∪KL/2 =2KBL =ABD

△DAL~△DBA (по двум углам) => △DBA - равнобедренный.

BC+CL =BC+CD =BD =BA =5

Answer 3

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о биссектрисе и свойством касательной, проведённой к окружности.

По теореме о биссектрисе, отрезок BK делит сторону AC на отрезки AK и KC, пропорциональные смежным сторонам AB и BC: AK/KB = AC/BC.

Мы знаем, что AC = 4 и AB = 5, поэтому можно записать: AK/KB = 4/BC.

Теперь рассмотрим треугольник AKB. Поскольку AK и KB являются радиусами окружности, описанной около этого треугольника, имеем: AK = KB = R (радиус окружности).

Также, по свойству касательной и хорды, угол KAL равен прямому углу (угол вписанный в полукруг). Значит, треугольник KAL — прямоугольный, и мы можем использовать его для решения задачи.

В треугольнике KAL применим теорему Пифагора: AK^2 + KL^2 = AL^2.

Так как AK = R, у нас есть: R^2 + KL^2 = AL^2.

Теперь мы можем выразить KL через AK и AL: KL = √(AL^2 - R^2).

Нам также известно, что AL + LC = AC. Подставим известные значения и рассчитаем KL: AL + LC = AC, AL + LC = 4, AL = 4 - LC.

Теперь можем заменить AL в предыдущем уравнении: KL = √((4 - LC)^2 - R^2).

Мы хотим найти CB + CL. Из ранее полученного соотношения AK/KB = 4/BC можно выразить BC через AK и KB: BC = (AK * KB) / (4/BC), BC^2 = AK * KB.

Мы знаем, что AK = R, поэтому: BC^2 = R * KB.

Теперь мы можем заменить KB в уравнении KL и рассчитать KL через R и LC: KL = √((4 - LC)^2 - R^2), KL = √(16 - 8LC + LC^2 - R^2).

Так как KL и BC составляют стороны треугольника KLC, мы можем записать: KL + BC + LC = CB + CL.

Теперь объединим все полученные уравнения и решим систему уравнений для нахождения CB + CL:

KL + BC + LC = CB + CL, √(16 - 8LC + LC^2 - R^2) + BC + LC = CB + CL.

Подставим известные значения: √(16 - 8LC + LC^2 - R^2) + BC + LC = CB + CL, √(16 - 8LC + LC^2 - R^2) + BC = CB.

Осталось заменить BC на AK * KB / R и решить полученное уравнение.