Question

В треугольнике ABC AC=12 BC=5 угол C=90° найдите радиус вписанной и описанной окружности​

Answer 1

Так как, по условию, треугольник АВС прямоугольный и он вписан в окружность, то его гипотенуза совпадает с диаметром окружности, а центр окружности О есть середина гипотенузы.

ОА = ОВ = АВ / 2 = R.

В прямоугольном треугольнике АВС, по теореме Пифагора, определим длину гипотенузы АВ.

АВ2 = АС2 + ВС2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169.

АВ = 13 см.

Тогда ОА = R = 13 / 2 = 6,5 cм.

Ответ: Радиус окружности равен 6,5 см.

Answer 2

Чтобы найти радиус вписанной окружности треугольника ABC, мы можем использовать формулу: r = \frac{{\text{Площадь треугольника}}}{{\text{Полупериметр треугольника}}}}, где $r$ - радиус вписанной окружности.

Для начала, нам нужно найти площадь треугольника ABC. Мы можем использовать формулу площади треугольника, основанную на его сторонах: $\text{Площадь} = \sqrt{{s \cdot (s - AB) \cdot (s - BC) \cdot (s - AC)}},$ где $s$ - полупериметр треугольника, который можно найти, сложив все стороны и разделив на 2: $s = \frac{{AB + BC + AC}}{2}.$

В нашем случае: $AB = BC = 5, \quad AC = 12.$ Следовательно, $s = \frac{{5 + 5 + 12}}{2} = 11.$

Подставим значение $s$ в формулу для площади треугольника: $\text{Площадь} = \sqrt{{11 \cdot (11 - 5) \cdot (11 - 5) \cdot (11 - 12)}} = \sqrt{{11 \cdot 6 \cdot 6 \cdot (-1)}} = \sqrt{{396}} = 2 \sqrt{{99}}.$

Теперь, используя площадь и полупериметр, мы можем найти радиус вписанной окружности: $r = \frac{{2 \sqrt{{99}}}}{{11}} = \frac{{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{{11}}}}{{11}} = \frac{{6 \sqrt{{11}}}}{{11}}.$

Чтобы найти радиус описанной окружности, мы можем использовать формулу: $R = \frac{{AB \cdot BC \cdot AC}}{{4 \cdot \text{Площадь треугольника}}}.$

Подставим значения сторон и площади: $R = \frac{{5 \cdot 5 \cdot 12}}{{4 \cdot 2 \sqrt{{99}}}} = \frac{{300}}{{8 \sqrt{{99}}}} = \frac{{75}}{{2 \sqrt{{99}}}}.$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен $\frac{{6 \sqrt{{11}}}}{{11}}$, а радиус описанной окружности равен $\frac{{75}}{{2 \sqrt{{99}}}}$.