Question

Помогите пожалуйста! Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 10, а большее основание AD равно 9. Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что биссектриса угла CDA проходит через точку L, которая делит боковое ребро AB в отношении 9:7, считая от большего основания.

Answer 1

Ответ:

48

Объяснение:

Продолжим боковые стороны трапеции (О - точка пересечения). Пусть OB = a, OC = b. В треугольнике AOD биссектриса делит сторону AO так, что $\frac{AL}{AD} =\frac{OL}{OD} ; \frac{4,5}{9} =\frac{3,5+a}{10+b} \\10+b=2*(3,5+a)\\10+b=7+2a$

Поскольку в треугольнике AOD отрезок BC параллелен основанию AD (как основания трапеции), справедливо равенство:

$\frac{AB}{OB} = \frac{DC}{OC} ; \frac{8}{a} = \frac{10}{b} ; a=0,8*b$

Подставляем полученное выражение в найденное ранее:

$10+b=7+2a\\10+b=7+1,6b\\0,6b=3\\b=5\\a=0,8*5=4$

То есть, ОВ = 4 и ОС = 5. Тогда имеем треугольник AOD со сторонами 9, 12 и 15 см => треугольник прямоугольный (подчиняется теореме Пифагора), и угол между сторонами AD и AB равен 90 градусов, и следовательно угол B также будет прямым.

Основание BC можно найти как катет в прямоугольном треугольнике OBC с катетом 4 и гипотенузой 5, оно будет равно 3 (по теореме Пифагора). В таком случае площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, т.е. $S = \frac{BC+AD}{2} * AB = \frac{3+9}{2} * 8 = 48 CM^2$

Answer 2

Чтобы решить данную задачу, воспользуемся следующими свойствами трапеции:

1. Биссектриса угла трапеции делит основание на отрезки, пропорциональные длинам боковых сторон.
2. Площадь трапеции можно вычислить, используя формулу S = ((a + b) / 2) * h, где a и b - основания трапеции, а h - высота трапеции.

Обозначим точку, в которой биссектриса угла CDA пересекает боковую сторону AB, как M. Так как отношение, в котором точка L делит сторону AB, равно 9:7 (считая от большего основания), то отношение длин AM к MB также будет 9:7.

Пусть AM = 9x, тогда MB = 7x.

Также обозначим высоту трапеции как h.

Так как треугольник AML - прямоугольный, мы можем применить теорему Пифагора:

AL^2 + LM^2 = AM^2.

Известно, что AL = 8 и LM = h (высота трапеции), поэтому получаем:

8^2 + h^2 = (9x)^2.

64 + h^2 = 81x^2.

Известно также, что CL = LD (биссектриса проходит через точку L), а CL + LD = CD, т.е. 2CL = CD. Так как CD = 10, получаем CL = LD = 5.

Теперь мы можем выразить высоту h через x:

h = CL + LM = 5 + h.

Подставим это в уравнение:

64 + h^2 = 81x^2.

64 + (5 + h)^2 = 81x^2.

Раскроем скобки:

64 + 25 + 10h + h^2 = 81x^2.

89 + 10h + h^2 = 81x^2.

Перенесем все в одну сторону:

h^2 + 10h + (81x^2 - 89) = 0.

Так как данное уравнение квадратное, мы можем решить его относительно h:

h = (-10 ± √(10^2 - 4 * 1 * (81x^2 - 89))) / 2.

h = (-10 ± √(100 - 324x^2 + 356)) / 2.

h = (-10 ± √(456 - 324x^2)) / 2.

Так как h - высота трапеции, она должна быть положительной, поэтому выберем положительное значение корня:

h = (-10 + √(456 - 324x^2)) / 2.

Теперь, когда у нас есть выражение для h через x, мы можем выразить площадь трапеции:

S = ((AD + BC) / 2) * h.

S = ((9 + 10) / 2) * ((-10 + √(456 - 324x^2)) / 2).

S = (19 / 2) * ((-10 + √(456 - 324x^2)) / 2).

Таким образом, площадь трапеции ABCD зависит от значения x. Чтобы найти ее точное значение, требуется значение x, которое не указано в условии задачи.