Question

Вершины пирамиды заданы координатами: A(4, 4, -10) ; B(4, 10, 2) ; C(2, 8, 4) ; D(9, 6, 4) найти: 1) координаты векторов a = DA, b = DB, c = DC 2) найти направляющие косинусы и записать орт вектора c 3) посчитать проекцию вектора (3a-2b) на вектор с Cпасибо!

Answer 1

$A(4,4,-10)\; \; ,\; \; B(4,10,2)\; ,\; \; C(2,8,4)\; ,\; \; D(9,6,4)\\\\1)\; \; \vec{a}=\overline {DA}=(4-9,4-6,-10-4)=(-5,-2,-14)\\\\\vec{b}=\overline {DB}=(4-9,10-6,2-4)=(-5,4,-2)\\\\\vec{c}=\overline {DC}=(2-9,8-6,4-4)=(-7,2,0)\\\\\\2)\; \; \vec[c}|=\sqrt{7^2+2^2+0^2}=\sqrt{53}\\\\\vec{c}\, ^0=\Big (-\frac{7}{\sqrt{53}}\, ,\, \frac{2}{\sqrt{53}}\, ,\, 0\, \Big )\\\\\\3)\; \; \vec{d}=3\vec{a}-2\vec{b}=(-15+10\, ,\, -6-8\, ,\, -42+4)=(-5\, ,\, -14\, ,\, -38)\\\\\vec{c}\cdot \vec{d}=-5\cdot (-7)-14\cdot 2=7$

$proekciya_{c}\, \vec{d}=\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{|\vec{c}|}=\frac{7}{\sqrt{53}}$

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулы для вычисления векторов, направляющих косинусов, ортов векторов и проекции векторов.

1. Вычисление векторов: a = DA = A - D = (4 - 9, 4 - 6, -10 - 4) = (-5, -2, -14) b = DB = B - D = (4 - 9, 10 - 6, 2 - 4) = (-5, 4, -2) c = DC = C - D = (2 - 9, 8 - 6, 4 - 4) = (-7, 2, 0)

2. Направляющие косинусы и орт вектора c: Направляющие косинусы определяются отношением каждой координаты вектора к его длине. Длина вектора c: |c| = √((-7)^2 + 2^2 + 0^2) = √(49 + 4 + 0) = √53

Направляющий косинус для каждой координаты: cosα = c_x / |c| = -7 / √53 cosβ = c_y / |c| = 2 / √53 cosγ = c_z / |c| = 0 / √53 = 0

Орт вектора c: (cosα, cosβ, cosγ) = (-7 / √53, 2 / √53, 0)

3. Подсчет проекции вектора (3a - 2b) на вектор c: Проекция вектора v на вектор u вычисляется по формуле: proj_u(v) = (v * u) / |u|

v = 3a - 2b = 3(-5, -2, -14) - 2(-5, 4, -2) = (-15, -6, -42) - (-10, 8, -4) = (-15 + 10, -6 - 8, -42 + 4) = (-5, -14, -38)

Теперь мы можем вычислить проекцию: proj_c(3a - 2b) = ((-5, -14, -38) * (-7 / √53, 2 / √53, 0)) / √53 = ((-5) * (-7) + (-14) * (2) + (-38) * (0)) / √53 = (35 - 28 + 0) / √53 = 7 / √53

Таким образом, проекция вектора (3a - 2b) на вектор c равна 7 / √53.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.