Question

Внутри трапеции ABCD (BC || AD), где AD = 2BC, взята точка F, для которой AB = FB. Точка M — середина отрезка FD. Докажите, что CM ⊥ FA.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Внутри трапеции ABCD (BC || AD), где AD = 2BC, взята точка F, для которой AB = FB. Точка M — середина отрезка FD. Докажите, что CM ⊥ FA.

Answer 2

Для доказательства того, что CM ⊥ FA, мы можем использовать свойство параллелограмма, в котором диагонали делятся пополам и пересекаются в точке, являющейся их серединой. Давайте рассмотрим следующую последовательность шагов:

1. Из условия задачи мы знаем, что AB = FB и AD = 2BC. Также, по определению середины отрезка, FM = MD.

2. Рассмотрим треугольники ABC и FBD. У них углы при вершине B равны, так как BC || AD. Также, по условию, у них равны стороны AB = FB. Значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу, и мы можем записать ABC ≅ FBD (по стороне-углу-стороне).

3. Из равенства ABC ≅ FBD следует, что у них равны углы при вершине A и F, то есть ∠ABC = ∠FBD.

4. Рассмотрим треугольники AMC и FMD. Мы знаем, что FM = MD и по построению AD = 2BC. Также, у них есть общая сторона AM. Поэтому, по стороне-стороне-стороне, эти треугольники равны и мы можем записать AMC ≅ FMD.

5. Из равенства AMC ≅ FMD следует, что у них равны углы при вершине M, то есть ∠AMC = ∠FMD.

6. Теперь обратимся к треугольнику ABC. Мы знаем, что ∠ABC = ∠FBD (из пункта 3). Также, ∠FBD = ∠FMD (так как FBD ≅ FMD из пункта 4). Значит, ∠ABC = ∠FMD.

7. Теперь рассмотрим треугольники ABC и MCF. У них углы при вершине C равны, так как AD || BC. У них также есть общая сторона AC и равные углы ∠ABC = ∠FMD (из пункта 6). Поэтому, по стороне-стороне-углу, эти треугольники равны и мы можем записать ABC ≅ MCF.

8. Из равенства ABC ≅ MCF следует, что у них равны углы при вершине A и C, то есть ∠ACB = ∠MFC.

9. Теперь рассмотрим треугольники MCF и ACF. У них углы при вершине C равны, так как они являются вертикальными углами. Они также имеют общую сторону CF. Значит, по стороне-углу-стороне, эти треугольники равны и мы можем записать MCF ≅ ACF.

10. Из равенства MCF ≅ ACF следует, что у них равны углы при вершине C и ∠ACB = ∠MFC (из пункта 8). Значит, ∠ACB = ∠MFC = 90°.

Таким образом, мы доказали, что угол ∠ACB равен 90°, что означает, что отрезок CM перпендикулярен отрезку FA.