Question

Дан остроугольный треугольник ABC, где H - орто центр. Из вершин B и C опущены высоты D и E соответсвенно. Окружность, диаметром которой является отрезок DE, пересекает AB и AC в точках N и G. K - точка пересечения AH и NG. Найдите длину отрезка AK, если BD=20; BE=7; BC=25.

Answer 1

BD = 20, BE = 7, BC = 25, тогда из прям. ΔBEC и ΔBCD ⇒ CE = √(25² - 7²) = 24 ; CD = √(25² - 20²) = 15

Углы BEC и BDC видны из отрезка ВС под прямым углом ⇒ вокруг четырёхугольника BEDC можно описать окружность, т.е. сумма его противоположных углов в сумме дают 180°. Из этого следует, что ∠BCD = ∠AED, ∠CBE = ∠ADE ⇒ ΔАВС подобен ΔAED. Аналогично, четыр-ник ENCD - вписанный ⇒ ΔAED подобен ΔANG. Значит, ΔANG подобен ΔAED подобен ΔАВС, ∠АGN = ∠AED = ∠ACB, ∠ANG = ∠ADE = ∠ABC. Так как ∠ANG = ∠ABC, то NG || BC.

ΔABD подобен ΔАСЕ по двум углам ⇒ AD/AE = BD/СЕ = 20/24 = 5/6 ;  Пусть AD = 5x, AE = 6x, тогда ΔAED подобен ΔАВС ⇒ AD/AE = AB/AC ;  5/6 = (6x + 15)/(5x + 7)  ⇒ x = 3 . Значит, AD = 15, AE = 18. Заметим, что АВ = ВС = 25 ⇒ ΔАВС - равнобедренный, значит, ΔANG, ΔEAD - равноб-ые.

ΔАED - равноб-ый, DN - высота, медиана ⇒ AN = NE = 18/2 = 9

ΔABC - равноб-ый ⇒ CE = AF = 24 - по свойству высот, проведённых к боковым сторонам

ΔANG подобен ΔАВС:  AN/AB = AK/AF ⇒ AK = (AN/AB)•AF = (9/25)•24 = 8,64

Ответ: 8,64

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами остроугольного треугольника и теоремой о перпендикулярных хордах.

Вспомним свойство остроугольного треугольника: высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентр H).

Для начала найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона:

s = (a + b + c) / 2

где a, b, c - длины сторон треугольника ABC.

AB = AC = 25 (так как треугольник остроугольный и равнобедренный)

BC = 25

s = (25 + 25 + 25) / 2 = 75 / 2 = 37.5

Площадь треугольника ABC равна:

S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

S = √(37.5 * (37.5 - 25) * (37.5 - 25) * (37.5 - 25))

S = √(37.5 * 12.5 * 12.5 * 12.5)

S ≈ 125.99

Площадь треугольника ABC равна приблизительно 125.99.

Теперь рассмотрим треугольник ADE. Он является прямоугольным, так как DE - диаметр окружности, и ортогонален к треугольнику ABC.

Так как AD и AE - высоты треугольника ABC, то площадь треугольника ABC можно выразить через площадь треугольника ADE:

S = (1/2) * AD * AE

AD * AE = 2 * S

Так как площадь треугольника ABC равна 125.99, то:

AD * AE = 2 * 125.99

AD * AE ≈ 251.98

Также из свойств прямоугольного треугольника ADE следует, что:

AK^2 = AD * AE

Таким образом:

AK ≈ √(AD * AE) ≈ √251.98 ≈ 15.87

Длина отрезка AK приблизительно равна 15.87.