Question

Отрезок AB расположен вне плоскости α по одну сторону от нее. Расстояние от точек A и B до плоскости равны 10 и 14. Найдите расстояние от середины отрезка AB до плоскости α

Answer 1

Ответ:

12

Объяснение:

AD⊥α,  BC⊥α, тогда АD║BC как перпендикуляры к одной плоскости,

Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость (АВС). Так как отрезок АВ лежит в этой плоскости, то и точка К так же лежит в ней, значит и прямая КМ║ВС, так же лежит в (АВС).

(АВС)∩α = CD, значит М∈CD.

ABCD - прямоугольная трапеция.

К - середина АВ, КМ║ВС (перпендикуляры к одной плоскости), значит

М - середина CD по теореме Фалеса.

КМ - средняя линия трапеции ABCD, значит равна полусумме оснований:

КМ = 1/2 (AD + BC) = 1/2 · (10 + 14) = 12

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством средней линии треугольника.

Обозначим середину отрезка AB как точку M. Так как M является серединой AB, то AM = MB.

Также дано, что расстояние от точки A до плоскости α равно 10, а от точки B до плоскости α равно 14.

Рассмотрим треугольник AMB. Известно, что расстояние от точки A до плоскости α равно 10. Так как AM = MB, то и расстояние от точки B до плоскости α также равно 10.

Теперь рассмотрим треугольник AMM', где M' - проекция точки M на плоскость α. Мы знаем, что AM = 10 и BM = 10. Значит, треугольник AMB является равнобедренным.

Таким образом, высота треугольника AMM' (расстояние от M до плоскости α) будет проходить через середину основания AMB, а значит, будет равна половине диагонали этого треугольника.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AMB:

(AM')² = (AM)² - (MM')²

(AM')² = 10² - (MM')²

Так как AM = 10 и BM = 10, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AMB:

AB² = AM² + BM²

AB² = 10² + 10²

AB² = 200

AB = √200

AB = 10√2

Теперь можем выразить (MM')²:

(AM')² = 10² - (MM')²

100 = 200 - (MM')²

(MM')² = 200 - 100

(MM')² = 100

MM' = √100

MM' = 10

Таким образом, расстояние от середины отрезка AB до плоскости α равно 10.