Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ЗАДАЧУ ПО ГЕОМЕТРИИ СРОЧНО ДАЮ 50 БАЛЛОВ В равнобедренном ΔABC с основанием AC на сторонах AB и BC отмечены соответственно точки M и N так,что ∠ ACM=∠CAN Докажите,что: BO⊥ MN,где O-точка пересечения AN и CM

Answer 1

Ответ:

Объяснение:В равнобедренном ΔABC с основанием AC на сторонах AB и BC

Answer 2

Для решения данной задачи по геометрии, воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и угловыми соотношениями.

По условию задачи, треугольник ABC равнобедренный, то есть AB = BC. Поскольку AM является биссектрисой угла ∠BAC, то ∠CAM = ∠BAM. Также, по условию, ∠ACM = ∠CAN.

Рассмотрим треугольник OMC. Угол ∠MOC является внешним по отношению к треугольнику ABC, поэтому ∠MOC = ∠BAC + ∠ACB = 2∠BAC. Из равнобедренности треугольника ABC следует, что ∠BAC = ∠ACB. Значит, ∠MOC = 2∠BAC = 2∠ACM.

Рассмотрим треугольник ONA. Угол ∠NOA является внешним по отношению к треугольнику ABC, поэтому ∠NOA = ∠BAC + ∠ACB = 2∠BAC. Из равнобедренности треугольника ABC следует, что ∠BAC = ∠ACB. Значит, ∠NOA = 2∠BAC = 2∠ACM.

Таким образом, углы ∠MOC и ∠NOA равны. Они образуют вертикальные углы относительно пересекающихся прямых AN и CM. Вертикальные углы равны между собой, поэтому ∠MOC = ∠NOA.

Теперь рассмотрим треугольник MON. Углы ∠MOC и ∠NOA равны, а угол ∠OMN общий для этих двух треугольников. Значит, треугольники MON и MOC подобны по двум углам.

Из подобия треугольников MON и MOC следует, что соответственные стороны пропорциональны. В данном случае, сторона MN соответствует стороне MC. То есть, MN/MC = MO/MA.

Учитывая, что MO/MA = MO/MB (так как AB = BC), получаем MN/MC = MO/MB.

Следовательно, по свойству пропорциональности отрезков, BO ⊥ MN. То есть, отрезок BO перпендикулярен к отрезку MN.

Таким образом, мы доказали, что BO ⊥ MN, где O - точка пересечения AN и CM.