Question

№1.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на медиане B отмечена точкаK, а на сторонах AB и BC-точки M и N соответственно.Известно , что BKM=BKN, BMK=110о. а) Найдите угол BNK. б) Докажите , что прямые MN и BK взаимно перпендикулярны.№2. На сторонах AB,BC и CA треугольника ABC отмечены точки D , E и F соответственно. Известно , что ABC=61о, CEF=60о, ADF=61о. а).Найдите угол DFE. б). Докажите ,что прямые AB и EF пересекаются. №3. В прямоугольном треугольнике ABC катает AB равен 3см, угол C равен 15о.На катете AC отмечена точка D так , что CBD=15о. а). Найдите длину отрезка BD.б) Докажите, что BC<12см.

Answer 1

 №1. Треугольники ВКМ и BKN равны по стороне и двум прилежащим углам.

Значит BM = BN. Значит тр-ки BMN и АВС подобны по 1 признаку подобия(по 2-м пропорциональным сторонам и углу между ними.)

Значит у них равны все углы, то есть MN||АС, значит MN перпендикулярно ВК,

что и требовалось доказать.

Угол BNK = углу BMK = 110 град. (из равенства тех же тр-ов: BKM и BKN).

 

 

№2. Во влажениях!

 

№3. В Δ АВС угол АВС равен
90-15=75°
ВΔ ВАД угол АВД равен
75-15=60
ВДА=90-60=30°
АВ, как противолежащая углу 30, равна половине ВД.
ВД=2*3=6 см
Рассмотрим Δ ВДС.
В нем равные углы при основании ВС.
Поэтому Δ ВДС - равнобедренный.
ДС=ВД=6 см.
Сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны.
Сторона ВД+ДС=12см
ВС < 12см
Длина стороны ВС не может быть равна 12 см

 

 

 

 

Answer 2

Задача №1: Решение

Дано: - Треугольник ABC является равнобедренным, с основанием AC на медиане B. - Отмечены точки K на медиане B, M на стороне AB и N на стороне BC. - Известно, что BKM = BKN = 110°.

а) Найдем угол BNK: В равнобедренном треугольнике ABC медиана B делит треугольник на два равных подтреугольника. Таким образом, BKM и BKN являются равными треугольниками.

Утверждение 1: Углы при основании равнобедренного треугольника равны. BKM = BKN

Утверждение 2: Сумма углов в треугольнике равна 180°. BKM + BMK + MKB = 180°

В равных треугольниках BKM и BKN углы BMK и MKB являются равными.

Утверждение 3: Если два угла треугольника равны, то и третий угол также равен. BMK = MKB = 110°/2 = 55°

Теперь мы знаем, что углы BMK и MKB равны 55° каждый.

Используем утверждение 2 для треугольника BKM: BKM + BMK + MKB = 180° BKM + 55° + 55° = 180° BKM = 180° - 110° = 70°

Таким образом, угол BNK равен 70°.

б) Докажем, что прямые MN и BK взаимно перпендикулярны.

Утверждение 4: Если две прямые взаимно перпендикулярны друг другу, то углы, образованные этими прямыми на пересечении, являются прямыми углами (равны 90°).

Мы знаем, что BKM = BKN = 110° и BMK = MKB = 55°. Так как треугольник BKM является равносторонним, мы можем утверждать, что углы MBK и NKB равны.

Утверждение 5: Если два угла треугольника равны, то и третий угол также равен. MBK = NKB = (180° - 110°)/2 = 35°

Используем утверждение 4 для треугольника BKN: BKN + NKB + BNK = 180° 70° + 35° + BNK = 180° BNK = 180° - 70° - 35° = 75°

Таким образом, угол BNK равен 75°, что является прямым углом. Следовательно, прямые MN и BK взаимно перпендикулярны.

Задача №2: Решение

Дано: - Треугольник ABC, где ABC = 61°, CEF = 60° и ADF = 61°. - Точки D, E и F на сторонах AB, BC и CA соответственно.

а) Найдем угол DFE: Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°.

Утверждение 6: Сумма углов в треугольнике равна 180°. ABC + BCA + CAB = 180°

Подставим известные значения: 61° + CEF + 61° = 180° CE + F = 180° - 61° - 61° CE + F = 58°

Утверждение 7: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. DCF = ADF + CEF

Подставим известные значения: DCF = 61° + 60° DCF = 121°

Утверждение 8: Внешний угол треугольника больше любого из его внутренних углов. DCF > CEF

Подставим известные значения: 121° > CEF CEF < 121°

Таким образом, угол CEF меньше 121°.

Используем утверждение 7 для треугольника CEF: DCF = CEF + F 121° = CEF + F

Мы знаем, что CEF < 121°, поэтому F должно быть положительным числом.

Теперь мы можем записать уравнение: 121° = CEF + F 121° = 60° + F F = 121° - 60° F = 61°

Угол DFE равен 61°.

б) Докажем, что прямые AB и EF пересекаются.

Утверждение 9: Если две прямые пересекаются, то углы, образованные этими прямыми на пересечении, являются вертикальными углами (равны).

Мы знаем, что ABC = 61° и F = 61°. Так как треугольник ABC является равносторонним, мы можем утверждать, что углы BAC и CBA равны.

Утверждение 10: Если два угла треугольника равны, то и третий угол также равен. BAC = CBA = (180° - 61°)/2 = 59.5°

Используем утверждение 9 для треугольника CEF: CEF + F + DFE = 180° 60° + 61° + DFE = 180° DFE = 180° - 60° - 61° DFE = 59°

Таким образом, угол DFE равен 59°, что является вертикальным углом. Следовательно, прямые AB и EF пересекаются.

Задача №3: Решение

Дано: - Прямоугольный треугольник ABC, где AB = 3 см, угол C = 15°. - Точка D на катете AC, такая что CBD = 15°.

а) Найдем длину отрезка BD: Мы знаем, что угол CBD = 15° и угол BCD = 90°.

Утверждение 11: Сумма углов в треугольнике равна 180°. CBD + BCD + BDC = 180°

Подставим известные значения: 15° + 90° + BDC = 180° BDC = 180° - 15° - 90° BDC = 75°

Утверждение 12: В прямоугольном треугольнике сумма углов при прямом угле равна 90°. BCD + BDC = 90°

Подставим известные значения: 90° + BDC = 90° BDC = 90° - 90° BDC = 0°

Мы знаем, что угол BDC = 0°, что означает, что точка D находится на прямой BC. Таким образом