Question

В треугольнике ABC сторона AC равна 7. Окружность проходит через вершину B, пересекает стороны AB и BC в точках М и К соответственно и касается стороны AC в точке N. Известно, что AN:NC = 4:3, MB=6, KC=1. Найдите радиус окружности.

Answer 1

Ответ:

(9√5)/5 см≈4 см

Объяснение:

Дано: ΔАВС,  АС=7 см;  AN:NC = 4:3, MB=6 см, KC=1 см. Найти R.

Пусть AN=4х см,  NC = 3х см;  тогда 4х+3х=7;  7х=7;  х=1 см;  AN=4 см, NC = 3 см.

По теореме о секущей и касательной, проведенных к окружности из одной точки,

СN²=СВ*СК;  9=СВ*1;  СВ=9  см

AN²=АВ*АМ;  пусть АМ=х см, тогда АВ=6+х см.

16=(6+х)*х;  х²+6х-16=0;  по теореме Виета х=2 и х=-8 (не подходит)

АМ=2 см,  АВ=8 см.

В ΔАВС АВ=8 см, ВС=9 см, АС=7 см.

Найдем косинус ∠В по теореме косинусов:

АС²=АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*cosB

49=64+81-2*72*cosB

144cosB=49

cosB=0,6666

Проведем КМ, тогда окружность будет описана вокруг ΔКМВ.

По теореме косинусов

КМ²=МВ²+КВ²-2МВ*КВ*0,6666=36+64-96*0,6666≈100-64≈36;  КМ≈6 см.

Радиус описанной окружности найдем по формуле R=(КМ*МВ*КВ)/4S.

Найдем S(КМВ). Проведем высоту МН.

МН=√(КМ²-КН²)=√(36-16)=√20=2√5 см.

S(КМВ)=1/2 * 8 * 2√5 = 8√5 см²

Найдем радиус окружности:

R=(КМ*МВ*КВ)/4S=288/32√5=(9√5)/5 см.≈4 см.

Answer 2

Ответ:

приблизительно 4 или точно 9√5/5

Объяснение:

Answer 3

Давайте рассмотрим треугольник ABC и введем следующие обозначения:

Пусть радиус окружности будет R. Пусть точка пересечения окружности с стороной AB будет P. Пусть точка пересечения окружности с продолжением стороны BC будет Q.

Так как окружность касается стороны AC в точке N, то точка N является точкой касания окружности и стороны AC. Поэтому AN = NC.

Из условия AN:NC = 4:3 и AN = NC, мы можем сказать, что AN делит сторону AC на 4 равные части, а NC делит сторону AC на 3 равные части.

Теперь давайте рассмотрим треугольник MNB. По условию MB = 6, а MP является радиусом окружности, проходящей через вершину B. Таким образом, MB = MP = 6.

Аналогично, рассмотрим треугольник QKC. По условию KC = 1, а KQ является радиусом окружности, проходящей через вершину B. Таким образом, KC = KQ = 1.

Теперь давайте применим теорему тангенсов к треугольнику ABC:

AN/NC = AB/BC

Подставим известные значения:

4/3 = (6 + R)/(1 + R)

Раскроем скобки:

4(1 + R) = 3(6 + R)

4 + 4R = 18 + 3R

4R - 3R = 18 - 4

R = 14

Таким образом, радиус окружности равен 14.