Question

Равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности с центром О.Найдите площадь трапеции,если AB=4,BO=1.

Answer 1

Ответ:

2√15

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство описанной трапеции, согласно которому сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов боковых сторон.

Пусть AC и BD — диагонали трапеции ABCD. Так как трапеция ABCD равнобедренная, то AC и BD равны между собой и половина оснований AD и BC.

По условию, AB = 4, поэтому AD = BC = 2.

Также известно, что BO = 1. Так как О — центр описанной окружности, то OB является радиусом этой окружности.

Построим рисунок для наглядности:

cssCopy code
       O
       |\
       | \
       |  \
       |   \
    A-----B

Из прямоугольного треугольника BOA по теореме Пифагора получаем:

OA^2 = OB^2 - AB^2 = 1^2 - 4^2 = -15.

Так как площадь должна быть положительной, мы получаем, что OA = √15.

Теперь мы можем рассчитать площадь трапеции ABCD, используя формулу:

S = ((AC + BD) / 2) * h,

где h — высота трапеции, равная расстоянию между основаниями AD и BC, и может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

h^2 = OA^2 - (AD/2 - BD/2)^2.

Подставляем известные значения:

h^2 = (√15)^2 - (2/2 - 2/2)^2 = 15 - 0 = 15.

Таким образом, h = √15.

Теперь мы можем рассчитать площадь трапеции:

S = ((AC + BD) / 2) * h = ((AD + BC) / 2) * h = (2 + 2) / 2 * √15 = 4 / 2 * √15 = 2√15.

Итак, площадь равнобедренной трапеции ABCD равна 2√15.