Question

Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 12 см і утворює з площиною основи кут 30 градусів. Кут між діагоналлю основи та однією з її сторін дорівнює 60°. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

Answer 1

Ответ:

V=162√3 см^3

Объяснение:

решение во вложении

Answer 2

Для знаходження об'єму прямокутного паралелепіпеда нам потрібно знайти його довжини сторін. Нехай a, b, і c - довжини сторін паралелепіпеда.

За даними умовами задачі маємо: Діагональ паралелепіпеда (d) = 12 см. Кут між діагоналлю основи та однією з її сторін = 60°. Кут між діагоналлю та площиною основи = 30°.

Щоб знайти довжини сторін a, b і c, розглянемо прямокутний трикутник, утворений діагоналлю паралелепіпеда і однією з його сторін. Дані кути нам надають можливість використовувати тригонометричні функції.

Зауважимо, що діагональ паралелепіпеда можна розділити на три відрізки, довжини яких дорівнюють довжинам сторін паралелепіпеда. Нехай x - довжина сторони, яка утворює кут 60° з діагоналлю основи. Тоді ми можемо записати наступне:

cos(60°) = x / a a = x / cos(60°) = x / (1/2) = 2x

cos(30°) = x / b b = x / cos(30°) = x / (√3/2) = 2x / √3

Також, ми можемо знайти довжину сторони с, використовуючи теорему Піфагора для прямокутного трикутника зі сторонами a, b і с:

c^2 = a^2 + b^2 c^2 = (2x)^2 + (2x / √3)^2 c^2 = 4x^2 + 4x^2 / 3 c^2 = (12x^2) / 3 c^2 = 4x^2 c = 2x

Тепер, ми можемо знайти довжину сторони c, яка дорівнює половині діагоналі паралелепіпеда:

d^2 = a^2 + c^2 12^2 = (2x)^2 + (2x)^2 144 = 4x^2 + 4x^2 144 = 8x^2 x^2 = 144 / 8 x^2 = 18 x = √18 x = 3√2

Тепер, знаючи довжини сторін a, b і c, ми можемо знайти об'єм паралелепіпеда:

V = a * b * c V = (2x) * (2x / √3) * (2x) V = 8x^3 / √3 V = 8(√18)^3 / √3 V = 8(√(18^3)) / √3 V = 8 * 18 * √2 / √3 V = 144√2 см^3

Отже, об'єм паралелепіпеда дорівнює 144√2 кубічних сантиметрів.