Question

Даны координаты вершин пирамиды А1(4;3;6) А2(4;9;4) А3(5;10;3) А4(3;1;3) а)Найдите угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3б)Уравнение высоты опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3​

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. АВСD :

А1(4;3;6), А2(4;9;4), А3(5;10;3), А4(3;1;3).

Для удобства назовём их АВСD.

А(4;3;6), B(4;9;4), C(5;10;3), D(3;1;3).

а)Найдите угол между ребром А1А4 (AD) и гранью А1А2А3 (ABC).

Находим векторы АВ и АС.

АВ = (0; 6; -2), АС = (1; 7; -3).

Их векторное произведение равно.

i           j         k |         i         j

0        6       -2 |         0        6

1          7       -3 |         1        7 = -18i - 2j + 0k - 0j + 14i - 6k = -4i - 2j - 6k.

Нормальный вектор к плоскости АВС равен (-4; -2; -6).

Модуль равен √((-4)²+ (-2)² + (-6)²)  =  √(16 + 4 + 36) = √56 ≈  

7,483.

Вектор АD    

x y z Модуль

-1 -2 -3   √14 ≈ 3,74166

.

cos α = (-1*(-4) + (-2)*(-2) + (-3)*(-6))/(√14*√56)  =

          = (4 + 4 + 18)/(√14*2√14) = 26/28 =  

13/14 ≈ 0,9286.

α = 0,38025 радиан  или  21,7868 градуса

.

б)Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 (D) на грань А1А2А3​ (ABC).

Её направляющий вектор найден - он равен нормальному вектору плоскости АВС(-4; -2; -6).

Используем координаты точки D(3; 1; 3).

Уравнение высоты DH: (x – 3)/(-4) = (y – 1)/(-2) = (z – 3)/(-6).

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые математические инструменты, такие как векторы и скалярное произведение.

а) Найдем угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3. Для этого нам нужно найти вектора для ребра А1А4 и для нормали к грани А1А2А3.

1. Вектор для ребра А1А4 (назовем его В1): В1 = (координаты А4) - (координаты А1) = (3 - 4, 1 - 3, 3 - 6) = (-1, -2, -3).

2. Вектор нормали к грани А1А2А3 (назовем его N): Для того чтобы найти вектор нормали к плоскости, нужно взять векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости грани. Выберем, например, векторы А1А2 и А1А3: В2 = (координаты А2) - (координаты А1) = (4 - 4, 9 - 3, 4 - 6) = (0, 6, -2). В3 = (координаты А3) - (координаты А1) = (5 - 4, 10 - 3, 3 - 6) = (1, 7, -3). Теперь найдем векторное произведение В2 и В3: N = В2 × В3 = ((6) - (-2))i - ((-2) - (-3))j + ((0) - (1))k = 8i + 1j - k.

3. Вычислим скалярное произведение векторов В1 и N: В1 · N = (-1) * 8 + (-2) * 1 + (-3) * (-1) = -8 - 2 + 3 = -7.

Теперь можем найти угол между векторами В1 и N с помощью формулы для скалярного произведения: cos(угол) = (В1 · N) / (|В1| * |N|).

|В1| = √((-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2) = √(1 + 4 + 9) = √14, |N| = √(8^2 + 1^2 + (-1)^2) = √(64 + 1 + 1) = √66.

cos(угол) = (-7) / (√14 * √66) ≈ -0.3268.

Теперь найдем значение угла с помощью арккосинуса: угол ≈ arccos(-0.3268) ≈ 109.58°.

Ответ: Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 составляет примерно 109.58°.

б) Теперь найдем уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Высота будет перпендикулярна грани, поэтому ее направляющий вектор будет равен вектору нормали к грани N, который мы уже нашли ранее:

N = 8i + 1j - k.

Теперь у нас есть точка (вершина А4) и направляющий вектор высоты. Обозначим точку вершины А4 за (x, y, z).

Тогда уравнение высоты будет иметь вид:

(x - x_А4) / 8 = (y - y_А4) / 1 = (z - z_А4) / (-1).

где (x_А4, y_А4, z_А4) - координаты вершины А4 (3, 1, 3).

Ответ: Уравнение высоты опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3: (x - 3) / 8 = (y - 1) / 1 = (z - 3) / (-1).