Question

На окружности отмечены точки A,B,C,D так, что дуга АВ = дуге ВС = дуге СD. Докажите, что АС^2=AB*(BC+AD).​

Answer 1

Ответ:

cos (90⁰+α) = - sin α

cos 90⁰ · cos α - sin 90⁰ · sin α = - sin α

0 · cos α - 1 · sin α = - sin α

- sin α = - sin α

тождество доказано

Answer 2

Для доказательства равенства АС^2 = AB * (BC + AD), рассмотрим следующую информацию о заданной ситуации:

1. Пусть О - центр окружности, на которой отмечены точки A, B, C и D.
2. Пусть α - угол АОВ (где V - середина дуги ВС).
3. Так как дуга АВ равна дуге ВС, то угол ВОС тоже равен α.

Теперь рассмотрим следующие утверждения:

1. Треугольник АВО и треугольник СВО равнобедренные (так как АВ = ВС и углы при вершине V равны).
2. Треугольник АСО - равнобедренный (так как АО = СО, и углы при вершине О равны).

Теперь обратим внимание на два треугольника: АСО и АВО.

В треугольнике АВО применим теорему косинусов к стороне АВ: AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 * AO * BO * cos(α).

Так как О - центр окружности, то AO = BO = радиус окружности = R. Подставим значения: AB^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos(α) = 2R^2(1 - cos(α)).

В треугольнике АСО также применим теорему косинусов к стороне АС: AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2 * AO * OC * cos(α).

Поскольку О - центр окружности, то OC = R. Подставим значения: AC^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos(α) = 2R^2(1 - cos(α)).

Таким образом, мы получили, что AB^2 = AC^2.

Теперь заметим, что треугольник АВС и треугольник АДС равны, так как у них равны две стороны и угол между ними (дуга АВ равна дуге СD, и угол между ними α).

Теперь, используем равенство сторон треугольников АВС и АДС: BC + AD = AC.

Подставим это равенство в наше изначальное уравнение: AB * (BC + AD) = AB * AC.

Теперь заметим, что мы уже ранее получили, что AB^2 = AC^2, поэтому можем заменить AC^2 на AB^2: AB * (BC + AD) = AC^2.

Таким образом, доказано, что АС^2 = AB * (BC + AD).