Question

Как доказать что длинна стороны прямо пропорциональна углу, лежащему напротив?

Answer 1

Утверждение не вполне верно.

Верно утверждение  о том, что в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. А сторона, при этом, прямо пропорциональна не углу, а синусу угла - это большая разница.

Последнее  выражается из теоремы синусов :

а=sin(A)*2*R

Здесь а -стона напротив угла А, а  R - радиус описанной окружности.

(доказательство теоремы очень простое, но думаю, здесь не нужно)

Answer 2

Для того чтобы доказать, что длина стороны прямо пропорциональна углу, лежащему напротив, мы можем воспользоваться теоремой синусов. Теорема синусов устанавливает соотношение между длинами сторон треугольника и синусами его углов. Формула теоремы синусов выглядит следующим образом:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,

где a, b, c - длины сторон треугольника, а A, B, C - соответствующие им углы.

Предположим, у нас есть треугольник ABC, и мы хотим доказать, что длина стороны AB прямо пропорциональна углу C, который лежит напротив этой стороны.

Итак, для доказательства этого факта, нам необходимо найти два других треугольника с общим углом C, у которых стороны пропорциональны длине AB.

Давайте возьмем два треугольника ACX и BCY, где X и Y - это точки на продолжении сторон AC и BC соответственно, такие что AX = AB = BY. В этом случае у нас есть:

$\frac{AX}{\sin \angle CAX} = \frac{AB}{\sin \angle CAB}$ и $\frac{BY}{\sin \angle CBY} = \frac{AB}{\sin \angle CBA}$.

Так как AX = BY и $\angle CAX = \angle CBY = \angle C$, мы можем записать:

$\frac{AB}{\sin \angle CAB} = \frac{AB}{\sin \angle CBA}$.

Теперь, если мы перепишем теорему синусов для треугольника ABC, получим:

$\frac{AB}{\sin \angle CAB} = \frac{BC}{\sin \angle ABC}$.

Таким образом, мы получаем:

$\frac{AB}{\sin \angle CBA} = \frac{BC}{\sin \angle ABC}$.

Отсюда следует, что $\frac{AB}{\sin \angle CBA} = \frac{AB}{\sin \angle CAB}$, что возможно только при условии, что $\sin \angle CBA = \sin \angle CAB$.

Но углы CBA и CAB - это два угла треугольника, лежащие напротив стороны AB. Из свойств синуса мы знаем, что синус угла острого треугольника всегда положителен, и если у двух углов синусы равны, то сами углы должны быть равны.

Таким образом, мы доказали, что длина стороны AB прямо пропорциональна углу C, который лежит напротив этой стороны.