Question

50 БАЛЛОВ! Точка Р принадлежит стороне АD квадрата ABCD, а точка О приналежит диагонали АС, причем АP:АD=1:3 и ОС= см.Вычислите площадь четырехугольника POCD, если известно, что около него можно описать окружность.​

Answer 1

Пусть $AP=x$ и $AD=3x$. Около четырехугольника вписали окружность, следовательно, $\angle POC=180^\circ-\angle CDP=90^\circ$. Следовательно, OP ⊥ AC. Отсюда ΔAOP - равнобедренный прямоугольный треугольник.

$AO=OP=\dfrac{AP}{\sqrt{2}}=\dfrac{x}{\sqrt{2}}$

Прямоугольные треугольники AOP и ACD подобны по двум углам

$\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{AO}{AD}~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{x}{\frac{x}{\sqrt{2}}+20\sqrt{2}}=\dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}}{3x}~~\Rightarrow~~~ \dfrac{\sqrt{2}}{x+40}=\dfrac{1}{3x\sqrt{2}}\\ \\ 6x=x+40\\ \\ 5x=40\\ \\ x=8$

$S_{ACD}=\dfrac{AD\cdot CD}{2}=\dfrac{(3\cdot 8)^2}{2}=288$ кв. ед.

$S_{AOP}=\dfrac{AO\cdot OP}{2}=\dfrac{(4\sqrt{2})^2}{2}=16$ кв. ед.

Площадь четырехугольника POCD:

$S_{POCD}=S_{ACD}-S_{AOD}=288-16=272$ кв. ед.

Ответ: 272.

Answer 2

Для начала, давайте обозначим длину стороны квадрата ABCD через a.

Так как АP:АD = 1:3, то АD = 3AP, и AP составляет 1/4 стороны AD. Значит, AP = 3/4 * a.

Теперь рассмотрим треугольник APO. По условию, точка О принадлежит диагонали AC. Так как AC - диагональ квадрата, она делит его пополам. Следовательно, AO = CO = 1/2 * a.

Теперь, чтобы найти PC, можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника APC: AP^2 + PC^2 = AC^2.

Подставляем известные значения: (3/4 * a)^2 + PC^2 = a^2.

Упростим уравнение: 9/16 * a^2 + PC^2 = a^2, PC^2 = a^2 - 9/16 * a^2, PC^2 = 7/16 * a^2, PC = √(7/16) * a.

Теперь, чтобы найти площадь четырехугольника POCD, разобьем его на два треугольника: APO и PCO, и прямоугольник POD.

Площадь треугольника APO: S_APO = (1/2) * AP * AO, S_APO = (1/2) * (3/4 * a) * (1/2 * a), S_APO = 3/16 * a^2.

Площадь треугольника PCO: S_PCO = (1/2) * PC * CO, S_PCO = (1/2) * (√(7/16) * a) * (1/2 * a), S_PCO = √7/32 * a^2.

Площадь прямоугольника POD: S_POD = PC * OD, S_POD = (√(7/16) * a) * (√(1/16) * a), S_POD = √(7/256) * a^2.

Теперь суммируем площади всех трех фигур: S_POCD = S_APO + S_PCO + S_POD, S_POCD = 3/16 * a^2 + √7/32 * a^2 + √(7/256) * a^2, S_POCD = (3/16 + √7/32 + √7/256) * a^2.

Чтобы найти площадь четырехугольника POCD, нам нужно знать значение a. Если его длина не предоставлена, невозможно точно вычислить площадь. Однако, если значение a предоставлено, вы можете подставить его в выражение выше и рассчитать S_POCD.