Question

Найдите скалярное произведение векторов BA*BC CA*DA если в прямоугольнике ABCD угол ACD = 60, AB = 3.

Answer 1

Угол между векторам BA и BC равен 90°, следовательно их скалярное произведение равно нулю, т.е. $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$

∠CAD = 90° - ∠ACD = 30°

Против угла 30° катет в два раза меньше гипотенузы

$|\overrightarrow{CA}|=2\cdot 3=6\\ \\ |\overrightarrow{DA}|=|\overrightarrow{CA}|\cos30^\circ=3\sqrt{3}\\ \\ \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{DA}=|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{DA}|\cos 30^\circ=6\cdot 3\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=27$

Answer 2

Для нахождения скалярного произведения векторов BABC и CADA, нам необходимо знать координаты этих векторов. Для начала, определим координаты точек A, B, C и D.

Пусть точка A имеет координаты (0, 0). Тогда точка B имеет координаты (3, 0) (AB = 3), так как прямоугольник ABCD имеет сторону AB длиной 3.

Также угол ACD равен 60 градусам. Поскольку сторона AD прямоугольника параллельна оси x, а сторона CD параллельна оси y, мы можем представить координаты точки C как (x, y), где x - это координата по оси x, а y - координата по оси y. Поскольку угол ACD равен 60 градусам, длина стороны AC равна AB, то есть 3.

Теперь, используя факт, что угол между векторами равен арккосинусу от нормализованного скалярного произведения этих векторов, можем найти скалярное произведение между векторами BABC и CADA.

1. Найдем вектор BA и BC: Вектор BA = (3 - 0, 0 - 0) = (3, 0) Вектор BC = (x - 3, y - 0) = (x - 3, y)

2. Вычислим нормализованные векторы BA и BC: Нормализованный вектор BA = (3 / ||BA||, 0) = (1, 0) (так как длина вектора BA равна 3) Нормализованный вектор BC = ((x - 3) / ||BC||, y / ||BC||) = ((x - 3) / 3, y / 3) (так как длина вектора BC равна 3)

3. Найдем скалярное произведение между нормализованными векторами BA и BC: Скалярное произведение BA*BC = (1 * ((x - 3) / 3)) + (0 * (y / 3)) = (x - 3) / 3

Теперь давайте найдем вектор CA и DA: Вектор CA = (x - 0, y - 0) = (x, y) Вектор DA = (x - 0, y - 3) = (x, y - 3)

4. Вычислим нормализованные векторы CA и DA: Нормализованный вектор CA = (x / ||CA||, y / ||CA||) = (x / 3, y / 3) (так как длина вектора CA равна 3) Нормализованный вектор DA = (x / ||DA||, (y - 3) / ||DA||) = (x / 3, (y - 3) / 3) (так как длина вектора DA равна 3)

5. Найдем скалярное произведение между нормализованными векторами CA и DA: Скалярное произведение CA*DA = ((x / 3) * (x / 3)) + ((y / 3) * ((y - 3) / 3)) = (x^2 / 9) + ((y * (y - 3)) / 9)

Таким образом, скалярное произведение векторов BABC равно (x - 3) / 3, а скалярное произведение векторов CADA равно (x^2 / 9) + ((y * (y - 3)) / 9).