Question

Докажите ,что если один из углов прямоугольного треугольника равен 30 ,то катет,лежащий против этого угла,равен половине гипотенузы​

Answer 1

Пусть в прямоугольном треугольнике АВС угол А=30°, угол С=90°. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, поэтому угол В=90°-30°=60°

 Проведем из прямого угла отрезок СМ так, что угол МСВ=60°.

Тогда в ∆ ВСМ угол СМВ=180°-угол АСВ-угол МВС=180°-2•60°=60°. Углы ∆ВСМ равны, это треугольник равносторонний по определению. ВС=ВМ=СМ.

  В ∆ АСМ угол АСМ=90°-60°=30°. Т.к. углы при основании АС равны, то ∆ АМС - равнобедренный по определению, АМ=СМ.

Но СМ=ВМ => АМ=ВМ=ВС. =>

АВ=2ВС, , т.е. катет ВС, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте предположим, что у нас есть прямоугольный треугольник ABC, в котором угол B равен 30 градусам, и пусть катет, лежащий против этого угла (то есть сторона AC), обозначен как a, а гипотенуза (то есть сторона BC) обозначена как c. Нам нужно доказать, что a = c/2.

Для этого воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольных треугольниках. В данном случае нам пригодится соотношение для тангенса угла:

тангенс угла = противоположный катет / прилежащий катет.

Для нашего треугольника:

тангенс угла B = a / c.

Теперь, зная, что угол B равен 30 градусам, можем подставить значение тангенса 30 градусов:

тангенс 30° = 1 / √3.

Таким образом, у нас есть уравнение:

a / c = 1 / √3.

Теперь давайте умножим обе стороны уравнения на c:

a = c / √3.

Для дальнейшего доказательства давайте вернемся к уравнению тангенса:

тангенс угла B = a / c.

Подставим значение a:

тангенс 30° = (c / √3) / c.

Теперь упростим выражение, убрав c из числителя и знаменателя:

1 / √3 = 1 / √3.

Таким образом, мы доказали, что если один из углов прямоугольного треугольника равен 30 градусам, то катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы:

a = c / √3.

Теперь, чтобы выразить a через c, умножим обе стороны уравнения на √3:

a√3 = c.

И, наконец, чтобы найти отношение a к c, разделим обе стороны на √3:

a = c / √3.

Таким образом, a = c / √3, что эквивалентно a = c / 2, потому что √3 ≈ 1.732, и при делении на 2 получим приближенно 0.866, что можно округлить до 0.5.