Question

Медианы AM и BN треугольника АВС пересекаются в точке Q. Известно, что AB=СQ=3. Кроме того, угол QAB равен 60 градусов. Найдите длину отрезка QM.

Answer 1

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1 от вершины.

CK - медиана, QK=CQ/2 =3/2

K - середина AB, AK=3/2

QAK - равнобедренный с углом 60 => равносторонний, AQ=3/2

QM=AQ/2 =3/4

Answer 2

Чтобы найти длину отрезка QM, мы должны сначала найти длину медианы AM.

В треугольнике ABC медиана AM делит сторону BC пополам, поэтому BM = MC = 3/2.

Мы также знаем, что AB = CQ = 3. Поскольку AB = CQ, треугольник ABQ является равносторонним, а значит, все его стороны равны 3.

Таким образом, в треугольнике ABQ стороны AB и BQ равны 3, а угол QAB равен 60 градусов.

Известно, что в равностороннем треугольнике углы при основании равны 60 градусов. Поэтому угол QBA также равен 60 градусов.

Теперь мы можем применить теорему косинусов в треугольнике BQM для нахождения длины отрезка QM.

В треугольнике BQM у нас есть стороны BM = MC = 3/2 и BQ = 3, а также угол QBM равный 60 градусов.

Теорема косинусов гласит: QM^2 = BM^2 + BQ^2 - 2 * BM * BQ * cos(QBM)

Подставляя известные значения, получаем: QM^2 = (3/2)^2 + 3^2 - 2 * (3/2) * 3 * cos(60)

QM^2 = 9/4 + 9 - 9 * (3/2) * (1/2)

QM^2 = 9/4 + 9 - 27/4

QM^2 = 36/4

QM^2 = 9

Таким образом, длина отрезка QM равна 3.