Question

Чему равно значение выражения? 2^(n)*C0n+2^(n−1)*C1n+2^(n−2)*C2n+…+2*Cn−1n+Cnn В качестве ответа введите значение выражения для n=10.

Answer 1

Ответ:

59049

Пошаговое объяснение:

$C_n^0*2^n*1^0+C_n^1*2^{n-1}*1^1+...+C_n^{n-1}*2^1*1^{n-1}+C_n^n*2^0*1^n=\\\\=(2 + 1)^n = 3^n$

$n=10=>3^{10}=59049$

Answer 2

Для вычисления значения данного выражения, мы должны использовать биномиальную теорему, которая связывает биномиальные коэффициенты и степени двойки.

Выражение можно переписать следующим образом: $2^n \cdot C_{0}^{n} + 2^{n-1} \cdot C_{1}^{n} + 2^{n-2} \cdot C_{2}^{n} + ... + 2 \cdot C_{n-1}^{n} + C_{n}^{n}$

Биномиальные коэффициенты $C_{k}^{n}$ (читается "k по n") представляют собой количество способов выбрать k элементов из n элементов без учета порядка. Они вычисляются по формуле: $C_{k}^{n} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Теперь давайте вычислим значение выражения для n=10:

$2^{10} \cdot C_{0}^{10} + 2^{9} \cdot C_{1}^{10} + 2^{8} \cdot C_{2}^{10} + ... + 2 \cdot C_{9}^{10} + C_{10}^{10}$

Вычислим каждое слагаемое и сложим их: $2^{10} \cdot 1 + 2^{9} \cdot 10 + 2^{8} \cdot 45 + 2^{7} \cdot 120 + 2^{6} \cdot 210 + 2^{5} \cdot 252 + 2^{4} \cdot 210 + 2^{3} \cdot 120 + 2^{2} \cdot 45 + 2 \cdot 10 + 1$

Теперь посчитаем каждое слагаемое и сложим результаты:

$1024 \cdot 1 + 5120 + 2^{8} \cdot 45 + 2^{7} \cdot 120 + 2^{6} \cdot 210 + 2^{5} \cdot 252 + 2^{4} \cdot 210 + 2^{3} \cdot 120 + 2^{2} \cdot 45 + 2 \cdot 10 + 1$

$1024 + 5120 + 23040 + 9600 + 3360 + 640 + 80 + 40 + 180 + 20 + 1$

$50125$

Таким образом, значение выражения для n=10 равно 50125.