Question

Задание 1. Дерево высотой 3 м находится на расстоянии 8 шагов от фонарного столба и отбрасывает тень длиной 4 шага. Определите высоту фонарного столба. Задание 2. На окружности обозначены 3 точки А, В, и С так, что АВ=9 см, ВС=40 см, АС=41 см. Найдите радиус окружности. Задание 3. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH к гипотенузе. CH=4см, BH=3 см. Найти катет AC. Задание 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b, а угол при вершине – α. Выразите основание треугольника через эти величины. Задание 5. В остроугольном треугольнике АВС АС=b, ∠A=α, ∠C=β. Выразите проекции сторон АВ и ВС на сторону АС. (Задачу нужно решить без использования теоремы синусов.)

Answer 1

Ответ:

1.Тень от фонарного столба будет 4+8=12м, то есть в 12/4=3 раза больше, чем тень от дерева. Значит и высота столба будет в 3 раза больше дерева, то есть 3*3=9м.

2.Треугольник АВС - прямоугольный.

Докажем это с применением теоремы Пифагора:

41²=40²+9²

1681=1600+81

Значит, АС - гипотенуза.

В прямоугольном треугольнике центр окружности находится посередине гипотенузы, следовательно, радиус окружности равен 41:2=20,5 см.

Ответ: 20,5 см

3.(картинка)

4.Опустим из вершины равнобедренного треугольника высоту, которая по известной теореме является медианой и биссектрисой. Тогда из получившихся прямоугольных треугольников найдем, что

sin(α/2) = (x/2)/b = x/(2b), где x - это длина искомого основания. Теперь выразим икс.

x = 2b*sin(α/2).

5.Опускаем перпендикуляр BD на сторону AC.

Проекция AB на AC - это AD= AB cos A; проекция BC на AC - это CD= BC cos C.(Картинка 2)Из теоремы синусов

Объяснение:

Answer 2

Задание 1. Высота фонарного столба: Пусть H - высота фонарного столба, и его тень обозначается точкой T. Также обозначим вершину дерева как D и её высоту как h.

Так как дерево и столб находятся на одной прямой, то треугольник HDT подобен треугольнику DCT по принципу подобных треугольников. Также треугольник DCT подобен треугольнику ABC, так как угол при вершине треугольника DCT равен углу при вершине треугольника ABC (поскольку угол тень-дерево-земля прямой).

Теперь можем записать пропорции для подобных треугольников:

1. Для треугольника DCT: DT / CT = DH / CH

2. Для треугольника ABC: AC / BC = AH / CH

Известные значения:

1. Высота дерева: h = 3 м
2. Расстояние от дерева до столба: DC = 8 шагов
3. Длина тени дерева: DT = 4 шага

Мы не знаем высоту столба H, но можем обозначить её и воспользоваться образованными пропорциями: По условию задачи DH = h = 3 м

1. Из пропорции треугольника DCT: DT / CT = DH / CH 4 / (8 + CT) = 3 / 4

Теперь решим эту пропорцию: 3(8 + CT) = 4 * 4 24 + 3CT = 16 3CT = 16 - 24 3CT = -8 CT = -8 / 3 CT = -2.67

Отрицательное значение не имеет смысла в данной задаче, поэтому допустим, что тень тоже равна 4 метрам, но направлена в другую сторону.

2. Из пропорции треугольника ABC: AC / BC = AH / CH AC / BC = h / CH AC = (h * BC) / CH AC = (3 * 8) / 4 AC = 6 м

Ответ: Высота фонарного столба H равна 6 метрам.

Задание 2. Радиус окружности: Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC, где угол ACB = γ (гамма).

Теорема косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(γ)

Из условия задачи: AB = 9 см BC = 40 см AC = 41 см

Пусть r - радиус окружности.

Мы знаем, что радиус окружности является отрезком, соединяющим центр окружности с любой её точкой (в данном случае, центр окружности обозначим как O, а точки на окружности, соответственно, как A, B и C).

Также известно, что в правильном треугольнике (где все стороны равны), радиус окружности равен третьей стороне треугольника.

Таким образом, AB = BC = AC = r (в правильном треугольнике).

Применяя теорему косинусов к треугольнику ABC, получаем: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(γ)

Подставляем известные значения: 41^2 = 9^2 + 40^2 - 2 * 9 * 40 * cos(γ)

Решаем уравнение относительно cos(γ): 1681 = 81 + 1600 - 720 * cos(γ) 1681 = 1681 - 720 * cos(γ) 720 * cos(γ) = 0

cos(γ) = 0

Теперь, найдем значение синуса угла γ из тригонометрической теоремы: sin^2(γ) + cos^2(γ) = 1 sin^2(γ) + 0 = 1 sin^2(γ) = 1 sin(γ) = 1

Так как угол γ лежит на окружности, то его значение находится в пределах [0, 2π].

Таким образом, γ = π/2 (пи/2) радиан (или 90 градусов).

Теперь, найдем значение радиуса r с помощью теоремы синусов для треугольника ABC:

r / sin(γ) = AC / sin(γ) r / 1 = 41 / 1 r = 41 см

Ответ: Радиус окружности равен 41 см.

Задание 3. Катет AC прямоугольного треугольника ABC: Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника.

По условию задачи: CH = 4 см (высота) BH = 3 см

Пусть AC - катет треугольника ABC.

Так как треугольники ABC и CHB подобны, можно записать пропорции для их сторон:

1. Для треугольника ABC: AC / BC = CH / BH

2. Для треуголь