Question

Основание прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой острого угла трапеции. найдите эту диагональ. ​

Answer 1

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойство биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противоположную сторону треугольника пропорционально длинам прилегающих к ней сторон.

Пусть ABCD - прямоугольная трапеция, где AB = 18 см и CD = 12 см, а BD - диагональ, являющаяся биссектрисой острого угла.

Поскольку ABCD - прямоугольная трапеция, она содержит прямой угол между сторонами AB и BC.

Обозначим точку пересечения диагонали BD с основанием AB как точку E.

Тогда по свойству биссектрисы угла B, отношение длин отрезков AE и EB равно отношению длин отрезков AD и DC:

AE / EB = AD / DC.

Мы знаем, что AB = 18 см и CD = 12 см, поэтому AD = AB - BD = 18 - BD и DC = CD - BD = 12 - BD.

Подставим эти значения в уравнение:

AE / EB = (18 - BD) / (12 - BD).

Также мы знаем, что угол AEB - это прямой угол, поскольку он составляется из двух перпендикулярных сторон AB и BD. Это позволяет нам применить теорему Пифагора для треугольника AEB:

AE^2 + EB^2 = AB^2.

Мы знаем, что AB = 18 см, поэтому можем выразить AE через EB из этого уравнения:

AE^2 = 18^2 - EB^2, AE = sqrt(18^2 - EB^2).

Теперь мы можем записать уравнение отношения для AE и EB:

sqrt(18^2 - EB^2) / EB = (18 - BD) / (12 - BD).

Теперь решим это уравнение для EB (длины отрезка, на котором диагональ делит основание):

sqrt(18^2 - EB^2) = EB * (18 - BD) / (12 - BD).

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

18^2 - EB^2 = (EB * (18 - BD) / (12 - BD))^2.

Раскрываем квадрат справа:

18^2 - EB^2 = (EB^2 * (18 - BD)^2) / (12 - BD)^2.

Теперь решим уравнение относительно EB:

18^2 * (12 - BD)^2 - EB^2 * (12 - BD)^2 = EB^2 * (18 - BD)^2.

Выразим EB^2:

EB^2 * ((18 - BD)^2 + (12 - BD)^2) = 18^2 * (12 - BD)^2.

Теперь делим обе части на ((18 - BD)^2 + (12 - BD)^2):

EB^2 = (18^2 * (12 - BD)^2) / ((18 - BD)^2 + (12 - BD)^2).

EB = sqrt((18^2 * (12 - BD)^2) / ((18 - BD)^2 + (12 - BD)^2)).

Теперь можем найти значение EB, зная, что EB < AB, поскольку диагональ BD является биссектрисой острого угла:

EB = sqrt((18^2 * (12 - BD)^2) / ((18 - BD)^2 + (12 - BD)^2)) ≈ 7.06 см.

Таким образом, длина диагонали BD примерно равна 7.06 см.