Question

В Треугольнике ABC AB=13 см, BC=14см, AC=15 см, AN- высота, M- середина стороны AB. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника AMN.

Answer 1

Ответ:

Радиус окружности, описанной около треугольника AMN, равен 8,45 см.

Объяснение:

Требуется найти радиус окружности, описанной около треугольника AMN.

Дано: ΔАВС.

AB=13 см, BC=14см, AC=15 см;

AN- высота;

АМ = МВ;

Окр.О, ОА.

Найти: ОА.

Решение:

1. Найдем BN и AN.

Рассмотрим ΔАВN - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

AN² = AB² - BN²    (1)

Рассмотрим ΔАNC - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

AN² = AC² - CN²     (2)

Пусть BN = x см, тогда CN=(14 - х) см.

Приравняем (1) и (2)

AB² - BN²  = AC² - CN²

или

169 - х² = 225 - (14 - х)²

169 - х² = 225 - 196 + 28х - х²

28х = 140

х = 5

⇒ BN = 5 см.

AN² = 169 - 25 = 144

AN = 12 см.

2. Найдем NE.

• Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

⇒ BA · BM = BE · BN

13 · 6,5 = BE · 5

BE = 13 · 1,3 = 16,9 (см)

⇒ NE = BE - BN = 16,9 - 5 = 11,9 (см)

3. Рассмотрим ΔАNE - прямоугольный.

• Вписанный прямой угoл опирается на диаметр.

⇒ АЕ - диаметр.

По теореме Пифагора:

АЕ² = AN² + NE²

AE² = 144 + 141,61 = 285,61

AE = 16,9 (см)

Радиус равен половине диаметра.

ОА = 16,9 : 2 = 8,45 (см)

Радиус окружности, описанной около треугольника AMN, равен 8,45 см.

Answer 2

Ответ:

R = 8,45 см

Объяснение:

Дано: AB = 13 см, BC = 14см, AC = 15 см, AN - высота, AM = MB

Найти: R - ?

Решение:

Пусть p - полупериметр треугольника ΔABC, тогда по определению полупериметра: $p = \dfrac{AB + BC + AC}{2} = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$ см.

По формуле площади Герона для треугольника ΔABC:

$S_{зABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}=$

$= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ см².

По формуле площади треугольника (ΔABC):

$S_{зABC} = \dfrac{AN \cdot CB}{2} \Longrightarrow AN = \dfrac{2S_{зABC} }{CB} = \dfrac{2 \cdot 84}{14} = \dfrac{84}{7} = 12$ см.

Так как по условию AM = MB и по основному свойству отрезка

AB = AM + MB, то AM = MB = AB : 2 = 13 : 2 = 6,5 см.

Так как AN - высота по условию, то треугольник ΔANB - прямоугольный и так как AM = MB по условию, то по определению отрезок NM - медиана треугольника ΔANB, тогда по теореме медиана прямоугольного треугольника проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, тогда NM = AM = MB = 6,5 см.

Пусть s - полупериметр треугольника ΔAMN, тогда по определению полупериметра: $s = \dfrac{AM+ NM + AN}{2} = \dfrac{6,5 + 6,5 + 12}{2} = \dfrac{25}{2} = 12,5$ см.

По формуле площади Герона для треугольника ΔAMN:

$S_{зAMN} = \sqrt{s(s - AM)(s - NM)(s - AN)} = \sqrt{12,5(12,5 - 6,5)(12,5 - 6,5)(12,5 - 12)}=$

$= \sqrt{12,5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 0,5} = \sqrt{225} = 15$ см².

По формуле площади треугольника (ΔAMN):

$S_{зAMN} = \dfrac{AM \cdot MN \cdot AN}{4R} \Longrightarrow R = \dfrac{AM \cdot MN \cdot AN}{4S_{зAMN}} = \dfrac{6,5 \cdot 6,5 \cdot 12}{4 \cdot 15} =$

$= \dfrac{6,5 \cdot 6,5 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 5} = \dfrac{42,25 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \dfrac{42,25 }{5} = 8,45$ см.

Answer 3

Для того чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника AMN, нужно использовать теорему описанной окружности для треугольников. Эта теорема гласит, что радиус описанной окружности для треугольника равен произведению сторон треугольника, деленному на удвоенную площадь этого треугольника.

1. Найдем площадь треугольника AMN: Для этого используем формулу для площади треугольника по его высоте и основанию. Площадь треугольника AMN = (основание AM * высота AN) / 2.

Для вычисления основания AM найдем длину стороны MN. Так как M - середина стороны AB, то длина MN равна половине длины AB: MN = AB / 2 = 13 см / 2 = 6.5 см.

Теперь можно найти площадь треугольника AMN: Площадь AMN = (6.5 см * AN) / 2.

2. Найдем площадь треугольника ABC: Для этого воспользуемся формулой Герона: s = (AB + BC + AC) / 2 = (13 см + 14 см + 15 см) / 2 = 42 см / 2 = 21 см.

Площадь треугольника ABC = sqrt(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC)) = sqrt(21 см * (21 см - 13 см) * (21 см - 14 см) * (21 см - 15 см)) = sqrt(21 см * 8 см * 7 см * 6 см) = sqrt(7056 см^2) ≈ 84 см^2.

3. Теперь найдем радиус окружности, описанной около треугольника AMN: Радиус окружности = (AB * BC * AC) / (4 * площадь ABC) = (13 см * 14 см * 15 см) / (4 * 84 см^2) = (2730 см^3) / (336 см^2) ≈ 8.125 см.

Ответ: Радиус окружности, описанной около треугольника AMN, составляет примерно 8.125 см.