Question

На стороне AB треугольника ABC взята такая точка P, что AP = 2PB, а на стороне AC – ее середина, точка Q. Известно, что CP = 2PQ. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный

Answer 1

Ответ:Отложим на продолжении стороны AB отрезок  BD = PB.  Тогда PQ – средняя линия треугольника ACD. Следовательно,  CD = 2PQ = CP,  то есть треугольник PCD – равнобедренный. CB – его медиана, а значит, и высота.

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник ABC прямоугольный, мы должны показать, что угол при одном из его вершин равен 90 градусам.

Для этого рассмотрим треугольник ABC и его стороны. Пусть угол BAC (угол при вершине A) равен α.

Так как точка Q является серединой стороны AC, то PQ = AQ = QC.

Теперь обратим внимание на треугольник ABC. По условию задачи, AP = 2PB. Так как Q – середина стороны AC, то AQ = QC. Заметим также, что CP = 2PQ.

Теперь мы можем представить стороны треугольника ABC в терминах одной из них (например, в терминах стороны AC):

AB = AP + PB = 2PB + PB = 3PB, AC = AQ + QC = PQ + 2PQ = 3PQ.

Таким образом, мы получили, что AB = 3PB и AC = 3PQ.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BPQ (построенный на сторонах BP, PQ и BQ):

BP^2 + PQ^2 = BQ^2 (это следствие теоремы Пифагора).

Заменим стороны BP и PQ на их выражения через AB и AC:

(AB/3)^2 + (AC/3)^2 = BQ^2.

Теперь возьмем квадрат от обеих сторон:

(AB/3)^2 + (AC/3)^2 = BQ^2 (AB/3)^2 = BQ^2 - (AC/3)^2.

Теперь заметим, что мы можем выразить BQ через стороны треугольника ABC:

BQ^2 = AB^2 - AQ^2 BQ^2 = AB^2 - (AC/2)^2 (так как AQ = QC, и AC = 2AQ).

Теперь подставим это выражение для BQ^2 в предыдущее уравнение:

(AB/3)^2 = AB^2 - (AC/2)^2 - (AC/3)^2.

Раскроем скобки:

(AB^2)/9 = AB^2 - AC^2/4 - AC^2/9.

Теперь приведем все подобные слагаемые в правой части уравнения:

(AB^2)/9 = (9AB^2)/9 - (4AC^2)/9.

Теперь сократим общий множитель 1/9:

AB^2 = 9AB^2 - 4AC^2.

Перенесем все члены с AB^2 на одну сторону:

8AB^2 = 4AC^2.

Теперь разделим обе стороны на 4:

2AB^2 = AC^2.

Теперь можно увидеть, что AC^2 равно двукратному квадрату AB.

Теперь рассмотрим треугольник ABC и воспользуемся теоремой Пифагора для него:

AC^2 = AB^2 + BC^2.

Заменим AC^2 на 2AB^2:

2AB^2 = AB^2 + BC^2.

Выразим BC^2:

BC^2 = 2AB^2 - AB^2 = AB^2.

Теперь мы видим, что BC^2 равно квадрату AB. Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным, и угол BAC (угол при вершине A) равен 90 градусам.