Question

К окружности, вписанной в квадрат со стороной, равной а, проведена касательная, пересекающая две его стороны. Найдите периметр отсеченного треугольника

Answer 1

.........................

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим следующие величины:

Пусть сторона квадрата равна "a". Пусть "O" будет центром окружности. Пусть точка пересечения касательной и квадрата обозначается как "M". Пусть точки пересечения касательной и окружности обозначаются как "P" и "Q" (см. рисунок ниже).

markdownCopy code
        _______Q_____
       |             |
       |             |
       |      O      |
       |             |
       P______M______|

Так как касательная к окружности является перпендикуляром к радиусу (из точки касания к центру окружности), то угол между касательной и радиусом в точке касания (точка "M") будет прямым углом.

Давайте рассмотрим треугольник OMQ. Так как OM - это радиус окружности, а OQ - это касательная, и угол OMQ является прямым, то этот треугольник является прямоугольным.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

(1) OQ^2 = OM^2 + MQ^2.

Теперь рассмотрим треугольник OMP. Он тоже является прямоугольным, так как OM - радиус окружности, а MP - отрезок касательной, и угол OMP также равен прямому углу.

Используя теорему Пифагора для этого треугольника, получим:

(2) MP^2 = OM^2 + OP^2.

Теперь мы знаем, что OM^2 в обоих уравнениях равны друг другу, так как это квадрат радиуса окружности.

(3) OM^2 = R^2, где R - радиус окружности.

Теперь периметр треугольника MPQ равен сумме длин его сторон:

(4) Периметр MPQ = MQ + MP + PQ.

Подставим значения MQ и MP из уравнений (1) и (2):

(5) MQ = sqrt(OQ^2 - OM^2), (6) MP = sqrt(OP^2 - OM^2).

Теперь найдем длину PQ. Мы знаем, что MQ - это отрезок касательной, и PQ - это отрезок той же касательной, но с другой стороны касания точки P.

Таким образом, PQ = 2 * MQ.

Теперь можем записать периметр треугольника MPQ, используя уравнения (5) и (6):

(7) Периметр MPQ = sqrt(OQ^2 - OM^2) + sqrt(OP^2 - OM^2) + 2 * sqrt(OQ^2 - OM^2).

Но у нас также есть соотношение между OQ и OP, так как это радиус и отрезок касательной, проведенный к точке касания:

(8) OQ = OP + PQ.

Теперь можем записать периметр треугольника MPQ, используя уравнения (7) и (8):

(9) Периметр MPQ = sqrt((OP + PQ)^2 - OM^2) + sqrt(OP^2 - OM^2) + 2 * sqrt((OP + PQ)^2 - OM^2).

Теперь у нас есть выражение для периметра треугольника MPQ, использующее стороны и радиус окружности. Если даны дополнительные значения (например, радиус окружности или сторона квадрата), мы можем вычислить этот периметр.