Question

В основание правильной шестиугольной призмы вписана окружность, длина которой равна 12π. Найдите площадь полной поверхности призмы, если ее высота равна 6.

Answer 1

В основание правильной шестиугольной призмы вписана окружность, длина которой равна 12π. Найдите площадь полной поверхности призмы, если ее высота равна 6.

Answer 2

Для решения задачи, нам нужно найти площадь боковой поверхности и площадь двух оснований призмы, а затем сложить их.

1. Площадь боковой поверхности: Поскольку призма правильная, боковая поверхность представляет собой 6 равных равносторонних треугольников. Площадь каждого треугольника можно найти с помощью формулы:

Площадь треугольника = (периметр треугольника * высота треугольника) / 2

Так как призма правильная, каждая сторона треугольника равна стороне основания призмы, а высота каждого треугольника равна высоте призмы.

Периметр треугольника = 3 * сторона основания призмы

Таким образом, площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности = 6 * (3 * сторона основания призмы * высота призмы) / 2 = 6 * (3 * 12π * 6) / 2 = 6 * (36π) = 216π

2. Площадь одного основания призмы: Основание призмы - правильный шестиугольник, у которого длина стороны равна длине окружности, вписанной в него:

Площадь одного основания призмы = (периметр основания призмы * апофема основания призмы) / 2

Где апофема основания призмы - это радиус окружности, вписанной в основание, и он равен половине стороны основания призмы.

Периметр основания призмы = 6 * сторона основания призмы = 6 * 12π = 72π

Апофема основания призмы = (сторона основания призмы * √3) / 2 = (12π * √3) / 2 = 6π√3

Таким образом, площадь одного основания призмы:

Площадь одного основания призмы = (72π * 6π√3) / 2 = 36π^2√3

3. Площадь двух оснований призмы: Так как призма имеет два основания, и оба они идентичны, то площадь двух оснований равна удвоенной площади одного основания:

Площадь двух оснований призмы = 2 * (36π^2√3) = 72π^2√3

4. Площадь полной поверхности призмы: Теперь мы можем найти площадь полной поверхности призмы, сложив площадь боковой поверхности и площадь двух оснований:

Площадь полной поверхности призмы = Площадь боковой поверхности + Площадь двух оснований = 216π + 72π^2√3

Таким образом, площадь полной поверхности призмы составит 216π + 72π^2√3 квадратных единиц.