Question

В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з гострим кутом 60о і бічною стороною 4 см. Діагоналі трапеції є бісектрисами гострих кутів. Діагональ призми нахилена до площини основи під кутом 45о. Знайти об’єм призми.

Answer 1

Задача

В основе прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60 и боковой стороной 4 см. Диагонали трапеции являются биссектрисами острых углов. Диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 45. Найти объем призмы.

Объяснение:

АВСD-трапеция,∠А=∠D=60°, АС-биссектриса ∠А, DВ-биссектриса ∠D,  АВ=СD=4 см, ∠ВDВ₁=45°.

Т.к. DВ-биссектриса  ∠D, то ∠АDВ=30°,

ΔАВD, ∠А=60° , ∠АDВ=30° ⇒ ∠АВD=90°. Поэтому ΔАВD-прямоугольный :    tg60°=ВD/ВА или  √3=ВD/4 или ВD=4√3 см

cos60°=ВА/АD или 0,5=4/АD  , АD=8 см.

АD║ВС,АD-секущая ⇒  ∠АDВ=∠DВС=30°  как накрест лежащие.Поэтому ΔDВС- равнобедренный и СВ=СD=4 см.

ΔВDВ₁-прямоугольный и равнобедренный( ∠ВDВ₁=45° ⇒∠ВВ₁D=45°), поэтому ВВ₁=ВD=4√3 см.

V=P(осн)*h.

V=(4+4+4+8)*4√3 =80√3 ( см³)

Answer 2

Для знаходження об'єму прямої призми, потрібно знайти площу основи та висоту.

Спочатку знайдемо площу основи. Оскільки пряма призма має рівнобічну трапецію в основі, то знаємо, що її дві діагоналі є бісектрисами гострих кутів. Якщо розглядати рівнобічну трапецію ABCD, де AB = CD = 4 см, і кут при основі дорівнює 60 градусів, то висота трапеції (перпендикулярна до основи) може бути знайдена за допомогою теореми синусів:

h = AB * sin(60°) h = 4 см * √3 / 2 h = 2√3 см

Тепер знайдемо площу основи трапеції:

S_осн = (AB + CD) * h / 2 S_осн = (4 см + 4 см) * 2√3 см / 2 S_осн = 8√3 см²

Тепер знайдемо об'єм прямої призми. Об'єм прямої призми можна знайти, помноживши площу основи на висоту призми:

V = S_осн * h_призми V = 8√3 см² * h_призми

Оскільки діагональ призми нахилена до площини основи під кутом 45°, то пряма призма є правильною чотирикутною призмою, і висота призми дорівнює діагоналі призми:

h_призми = діагональ_призми = 4 см

Тепер можемо знайти об'єм призми:

V = 8√3 см² * 4 см V = 32√3 см³

Точна величина об'єму прямої призми дорівнює 55.425 см³ (приблизно).