Question

Помогите пожалуйста! Рівнобедрений трикутник ABC (AC=BC) описано навколо кола. M і K - точки дотику кола до сторін AC і AB, CM= 5 см, BK = 7 см. Знайдіть периметр трикутника.

Answer 1

Рівнобедрений трикутник ABC (AC=BC) описано навколо кола. M і K - точки дотику кола до сторін AC і AB, CM= 5 см, BK = 7 см. Знайдіть периметр трикутника.

Answer 2

Задача полягає в знаходженні периметру рівнобедреного трикутника ABC, в якому описане коло. Ми знаємо, що точки M і K є точками дотику кола до сторін AC і AB відповідно, і також дано довжини CM = 5 см та BK = 7 см.

Перше, що нам потрібно зробити, це знайти радіус описаного кола, оскільки він буде спільним для всіх трьох сторін трикутника.

Для цього використовуємо властивість: радіус описаного кола рівний добутку довжин сторін трикутника на половину його площі і поділений на площу трикутника.

Площа трикутника може бути знайдена за допомогою формули Герона: $S = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)},$ де $s$ - півпериметр, $a$, $b$, $c$ - довжини сторін трикутника.

Оскільки в нашому випадку сторони AC і BC рівні між собою, позначимо їх як $a$ і $a$, а сторону AB позначимо як $b$.

$S = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - a) \cdot (s - b)}$

Підставимо вираз для площі в формулу радіусу описаного кола: $R = \frac{a \cdot a \cdot b}{4 \cdot S}$

Ми також можемо виразити площу через півпериметр: $S = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - a) \cdot (s - b)} = \sqrt{\frac{3a + b}{2} \cdot \frac{a - b}{2} \cdot \frac{a - b}{2} \cdot \frac{a + b}{2}} = \frac{1}{4} \sqrt{(a + b)(a - b)^3}$

Тепер підставимо значення площі в формулу для радіусу описаного кола: $R = \frac{a \cdot a \cdot b}{4 \cdot \frac{1}{4} \sqrt{(a + b)(a - b)^3}} = \frac{a^2 \cdot b}{\sqrt{(a + b)(a - b)^3}}$

Ми також можемо виразити $a$ через $b$ за допомогою властивості $CM = 5$ і $BK = 7$: $a = CM + AC = 5 + BK = 5 + 7 = 12$

Підставимо значення $a$ у вираз для радіусу: $R = \frac{12^2 \cdot b}{\sqrt{(12 + b)(12 - b)^3}}$

Далі, застосуємо властивість, що радіус описаного кола рівний добутку сторін трикутника поділеному на подвійну площу трикутника: $R = \frac{a \cdot a \cdot b}{2 \cdot S}$

Підставимо значення для $S$: $R = \frac{a \cdot a \cdot b}{2 \cdot \frac{1}{4} \sqrt{(a + b)(a - b)^3}} = \frac{2 \cdot a^2 \cdot b}{\sqrt{(a + b)(a - b)^3}}$

Тепер вирішимо рівняння відносно $b$: $\frac{12^2 \cdot b}{\sqrt{(12 + b)(12 - b)^3}} = \frac{2 \cdot 12^2 \cdot b}{\sqrt{(12 + b)(12 - b)^3}}$