Question

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а биссектриса проведенная к основанию - 8. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник, и радиус окружности около треугольника

Answer 1

Ответ:

3; 6,25

Объяснение:

Так как треугольник (пусть будет ABC) равнобедренный (с основанием AC), то биссектриса (BH), проведенная к основанию, будет являться медианой и высотой.

Треугольник ABH - прямоугольный, значит, AH можно найти по теореме Пифагора:

AH = √(AB²-BH²) = √(100-64) = 6 см.

AC = 2BH = 12 см.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле S/p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр.

S = AC*BH/2 = 48 см².

p = (10+10+12)/2 = 16 см.

r = 48/16 = 3 см.

S = abc / 4R, т.е. площадь треугольника равна отношению произведения сторон треугольника к радиусу описанной окружности, увеличенного вчетверо. Отсюда:

R = abc/4S

R = 10*10*12/192 = 1200/192= 6,25 см.

Answer 2

Пусть дано равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 10 (боковая сторона), и биссектриса проведена к основанию BC и пересекает его в точке D, так что BD = CD = 8.

Мы знаем, что биссектриса делит основание на две равные части и перпендикулярна ему, следовательно, треугольник BCD - прямоугольный.

Пусть I - центр вписанной окружности, r - радиус этой окружности, и r1 - радиус описанной окружности треугольника ABC.

Давайте воспользуемся тем, что биссектриса треугольника является отрезком, соединяющим вершину с центром вписанной окружности и перпендикулярным основанию. Из этого можно вывести следующее:

1. Так как треугольник BCD - прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора: BD^2 + CD^2 = BC^2.
2. Также, так как точка D является центром вписанной окружности, BD = CD = r, где r - радиус вписанной окружности.

Сочетая эти два факта:

r^2 + r^2 = BC^2, 2r^2 = BC^2.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC = 10, следовательно:

2r^2 = 10^2, r^2 = 50, r = √50, r = 5√2.

Теперь давайте найдем радиус описанной окружности (окружности, вписанной в треугольник ABC). Мы можем воспользоваться формулой для радиуса описанной окружности:

r1 = (abc) / (4K),

где a, b, c - стороны треугольника, а K - его площадь.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то a = b = 10 и c = 10. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

s = (a + b + c) / 2 = (10 + 10 + 10) / 2 = 15.

K = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(15 * 5 * 5 * 5) = 125.

Теперь подставим значения в формулу для радиуса описанной окружности:

r1 = (10 * 10 * 10) / (4 * 125) = 8.

Итак, радиус вписанной окружности r = 5√2, а радиус описанной окружности r1 = 8.