Question

7 КЛАСС Помогите, пожалуйста! В прямоугольном треугольнике гипотенуза делится точкой касания вписанной окружности радиуса r на отрезки длиной m и n. Найдите периметр треугольника, если: а) m = 4 см, n = 6 см, r = 2 см;

Answer 1

Объяснение:

ΔАВС, ∠С=90°

Пусть точки касания лежат так С-Р-А  , С-М-В  , А-К-В.

По свойству отрезков касательных :

АК=АР=m=4 см,

ВК=ВМ=n=6см,

Радиус, проведенной в точку касания , перпендикулярен касательной⇒СРОМ-квадрат и СР=СМ=r=2 см.

Р(АВС)=АВ+ВС+СА=(4+6)+(6+2)+(2+4)=24(см)

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойствами вписанной окружности в прямоугольном треугольнике. Пусть АВС - прямоугольный треугольник, где АВ - гипотенуза, BC и AC - катеты, а окружность с центром в точке I - вписанная окружность, касающаяся сторон треугольника.

Дано: r - радиус вписанной окружности, m - длина отрезка между точкой касания окружности и точкой разделения гипотенузы на m и n, n - длина второго отрезка между точкой касания окружности и точкой разделения гипотенузы.

Известно, что радиус вписанной окружности связан с полупериметром треугольника и площадью треугольника следующим образом: $r = \frac{P}{2} - \frac{S}{P},$ где P - периметр треугольника, S - площадь треугольника.

Также из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника мы знаем, что $AB^2 = BC \cdot AC.$

Нам нужно найти периметр треугольника, т.е. сумму всех трех сторон: $P = AB + BC + AC.$

По условию задачи у нас есть значения m, n и r, и мы хотим найти P. Давайте решим задачу:

1. Найдем площадь треугольника: Так как $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC,$ и мы знаем, что $AB^2 = BC \cdot AC,$ то площадь треугольника может быть записана так: $S = \frac{1}{2} \cdot \frac{AB^2}{2}.$

2. Найдем периметр треугольника: Из равенства $r = \frac{P}{2} - \frac{S}{P},$ мы можем найти $P$ следующим образом: $P = \frac{2r \cdot P + AB^2}{P}.$

3. Подставим значение $AB^2 = BC \cdot AC,$ тогда: $P = \frac{2r \cdot P + BC \cdot AC}{P}.$

4. Найдем отношение $BC/AB$ и $AC/AB$: По условию задачи $BC = m, AC = n.$ Тогда: $\frac{BC}{AB} = \frac{m}{AB} \quad \text{и} \quad \frac{AC}{AB} = \frac{n}{AB}.$

5. Подставим значение $AB^2 = BC \cdot AC,$ тогда: $AB^2 = m \cdot n.$

6. Подставим это в уравнение для P: $P = \frac{2r \cdot P + m \cdot n}{P}.$

7. Решим уравнение для P: $P^2 = 2r \cdot P + m \cdot n.$ $P^2 - 2r \cdot P - m \cdot n = 0.$

Теперь, подставим в данное уравнение значения $r = 2 \, \text{см}, m = 4 \, \text{см}, n = 6 \, \text{см}$ и решим квадратное уравнение.

$P^2 - 2 \cdot 2 \cdot P - 4 \cdot 6 = 0.$

Далее, решим квадратное уравнение:

$P^2 - 4P - 24 = 0.$

Факторизуем или воспользуемся квадратным уравнением:

$(P - 6)(P + 4) = 0.$

Таким образом, у нас есть два значения P: $P_1 = 6$ и $P_2 = -4.$ Мы выбираем положительное значение, так как периметр не может быть отрицательным.

Таким образом, периметр треугольника $P = 6$ см.